Defekte

Sei $H\leq G$ und $P$ ein $RG$-Modul. $P$ heißt $H$-projektiv, falls $P\mid (P_H)^G$.

1.1.10 Lemma   Sei $R$ ein diskreter Bewertungsring und $V$ ein unzerlegbarer $RG$-Modul. Dann existiert eine bis auf Konjugation eindeutige minimale $p$-Untergruppe $Q\leq G$, so daß $V$ ein $Q$-projektiver Modul ist. $Q =: \operatorname{vtx}(V)\glossary{$\operatorname{vtx}(V)$>Vertex von $V$}$ heißt Vertex von $V$.

Beweis:Siehe z.B.[Fei82, Corollary III,4.3 und Lemma III,4.4, Seite 112f].

Betrachte $RG$ als $R[G\times G]$-Modul mit $x\cdot(g_1,g_2) = g_1^{-1}xg_2$ für $(g_1,g_2)\in G\times G$ und $x\in RG$. Dann ist $\operatorname{Stab}_{G\times G}(1) = \Delta G = \{(g,g) \mid g\in G\}$. Also ist

$$RG \cong_{G\times G} (R_{\Delta G})^{G\times G} = b_1 RG \oplus \cdots \oplus b_t RG,$$

für die zentral-primitiven Idempotente $b_i\in RG$ (siehe z.B. [Fei82, Lemma III,8.2, Seite 132]). Die direkten Summanden $b_i RG$ des $R[G\times G]$-Moduls $RG$ sind die zweiseitige Ideale von $RG$. Da $b_i RG \mid (R_{\Delta G})^{G\times G}$ ist $\operatorname{vtx}(b_i RG) =_{G\times G} \Delta D$ für ein $D\leq G$. Dieses $D =: \delta(B)\glossary{$\delta(B)$>Defektgruppe von $B$}$ heißt Defektgruppe des Blocks $B=B(b_i)$. Nach Lemma 1.1.10 ist $\delta(B)$ eine $p$-Gruppe, also ist $\vert\delta(B)\vert = p^{d(B)}$ für ein $d(B)\geq 0$. $d(B)\glossary{$d(B)$>Defekt}$ heißt Defekt von $B$ (siehe z.B.[Fei82, III,6, Seite 126]).

1.1.11 Lemma   Sei $B$ ein Block von $RG$. Dann sind äquivalent:

1.

$d(B)=0$.

2.

$n(B)=l(B)=1$.

3.

$D_B=(1)$.

4.

Alle $FG$-Moduln, die zu $B$ gehören, sind projektiv.

Beweis:Siehe [Fei82, Lemma IV,4.19, Seite 159].