Blöcke

Sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System und $G$ eine endliche Gruppe. Sei $b$ ein zentral-primitives Idempotent in der Gruppenalgebra $RG$. Der Block $B\glossary{$B$>Block} = B(b)$ ist die Menge aller endlich erzeugten $RG$-Moduln $V$ mit $Vb = V$.

Sei $B$ ein Block von $G$ und $l = l(B)\glossary{$l(B)$>Anzahl der projektiven unzerlegbaren $RG$-Moduln $U_i$, die zum Block $B$ geh\uml {o}ren}$ sei die Anzahl der projektiven unzerlegbaren $RG$-Moduln $U_i$, die zum Block $B$ gehören. Mit $\Phi_i\glossary{$\Phi_i$>Projektiver Charakter}$ bezeichne den projektiven Charakter, der zu $U_i$ gehört. $\operatorname{Proj}(B)\glossary{$\operatorname{Proj}(B)$>$!= \{\Phi_1,\dots,\P... ...r projektiven unzerlegbaren $RG$-Moduln in Block $B$} = \{\Phi_1,\dots,\Phi_l\}$ sei die Menge der projektiven unzerlegbaren Charaktere, die zum Block $B$ gehören. Bezeichne mit $\varphi_i\glossary{$\varphi_i$>irreduzibler Brauercharakter}$ den irreduziblen Brauercharakter, der zu $L_i \cong U_i/\operatorname{Rad}(U_i)$ gehört. Desweiteren sei $\operatorname{IBr}(B)\glossary{$\operatorname{IBr}(B)$>$!= \{\varphi_1,\dots,\... ...\}$, irreduzible Brauercharaktere im Block $B$} = \{\varphi_1,\dots,\varphi_l\}$ die Menge der irreduziblen Brauercharaktere, die zum Block $B$ gehören.

Mit $\{\chi_1,\dots,\chi_n\} = \operatorname{Irr}(G)\glossary{$\operatorname{Irr}(G... ...{\chi_1,\dots,\chi_n\}$, Menge der gew\uml {o}hnlichen irreduziblen Charaktere}$ bezeichne die Menge der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere $\chi_i\glossary{$\chi_i$>gew\uml {o}hnlicher irreduzibler Charakter}$, die jeweils zu den irreduziblen $KG$-Moduln $X_i$ gehören.

Sei $M_i$ ein $R$-freier $RG$-Modul, so daß $(M_i)_K\cong X_i$ ein irreduzibler $KG$-Modul ist. Dann ist $M_i$ unzerlegbar und es existiert genau ein zentral-primitives Idempotent $b$, so daß $M_i$ im Block $B(b)$ liegt. Somit bezeichne mit $\operatorname{Irr}(B)$ die Menge der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere, die zum Block $B$ gehören (siehe z.B.[Fei82, Corollary I,17.9, Seite 67]). Mit $n(B)\glossary{$n(B)$>Anzahl irreduzibler gew\uml {o}hnlicher Charaktere in Block $B$}$ bezeichne die Anzahl der irreduziblen gewöhnlichen Charaktere in Block $B$.

Sei $\chi$ ein gewöhnlicher Charakter von $G$, so bezeichne mit $\protect\hat{\chi}\glossary{$\protect\hat{\chi}$>Einschr\uml {a}nkung des gew\uml {o}hnlichen Charakters $\chi$\ auf $G_{p'}$} : = \chi\vert _{G_{p'}}$ die Einschränkung von $\chi$ auf die $p'$-Elemente von $G$. Die Menge der eingeschränkten gewöhnlichen irreduziblen Charaktere in Block $B$ sei $\operatorname{Res}(B)\glossary{$\operatorname{Res}(B)$>$!= \{\protect\hat{\chi... ...len Charaktere in Block $B$} = \{\hat{\chi}\mid \chi\in \operatorname{Irr}(B)\}$. Da $\{\varphi_1,\dots,\varphi_k\}$ eine Basis des Raums der komplexwertigen Klassenfunktionen auf $G_{p'}$ ist (siehe z.B. [Fei82, Lemma IV,3.4, Seite 146]), gilt

$$\hat{\chi} = \sum_{\varphi\in\operatorname{IBr}(G)} d_{\chi\varphi}\glossary{$d_{\chi\varphi}$>Zerlegungszahl} \varphi.$$ (1.3)

Die eindeutig bestimmten, nichtnegativen Zahlen $d_{\chi\varphi}$ sind die Zerlegungszahlen von $G$ (vergleiche z.B.[Isa76, Seite 267]). Die Zerlegungsmatrix für den Block $B$ ist definiert als Matrix der Zerlegungszahlen $D_B\glossary{$D_B$>Zerlegungsmatrix} = (d_{\chi\varphi})_{\chi\in\operatorname... ...B),\varphi\in\operatorname{IBr}(B)} \in {\protect \mathbb{Z}}^{n(B)\times l(B)}$.