Rechnen im endlichen Körper $F$

Um in einem endlichen Körper $F$ explizit rechnen zu können, müssen die Elemente $x\in F$ dargestellt werden. Dazu wird ein Element $x\in F\setminus\{0\}$ als Potenz eines Erzeugers der multiplikativen Gruppe $F^\times$ geschrieben. Sei $p = \vert F\vert$ für eine Primzahl $p$, so definiere $\zeta_p\glossary{$\zeta_p$>kleinste primitive Wurzel modulo $p$, \protect\dh$\protect\langle \zeta_p\protect\rangle != GF(p)^\times$}$ als die kleinste positive primitive Wurzel modulo $p$. $\zeta_{p^n}\glossary{$\zeta_{p^n}$>Wurzel des $n$-ten Conway-Polynoms}$ wird definiert als Wurzel des $n$-ten Conway-Polynoms in Charakteristik $p$. Dann erzeugt $\zeta_{p^n}$ die multiplikative Gruppe $F^\times$. Zur genauen Definition des Conway-Polynoms siehe [Nic88, Abschnitt 1.6]. Ist $F = GF(p^n)$ ein Teilkörper von $L=GF(p^m)$, d.h.$n\mid m$, so ist $\zeta_{p^n} = (\zeta_{p^m})^{(p^m-1)/(p^n-1)}$. Die Schreibweise $\zeta_{p^n}$ ist angelehnt an die Schreibweise von GAP als Z(p^n) und darf nicht mit einer primitiven $p^n$-ten Einheitswurzel verwechselt werden, denn die Ordnung von $\zeta_{p^n}$ ist natürlich $p^n-1$, die Ordnung der multiplikativen Gruppe des zugehörigen endlichen Körpers.

Sei $C_n\in {\protect \mathbb{F}}_p[X]$ das eindeutig bestimmte Conwaypolynom von Grad $n$. $F := {\protect \mathbb{F}}_p[x]/(C_n)$ ist eine Körpererweiterung von ${\protect \mathbb{F}}_p$ von Grad $n$ und $\zeta := X+(C_n)\in {\protect \mathbb{F}}_p[X]/(C_n)$ ist Wurzel von $C_n$. Die Ordnung von $\zeta$ ist $m := p^n-1$. Damit sind die Elemente von $F$ eindeutig festgelegt.

1.1.9 Bemerkung
Falls $k\mid m$, so ist $\zeta^{m/k}$ eine $k$-te primitive Einheitswurzel in $F$. $\xi_k := \exp(\frac{2\pi i}k)\in{\protect \mathbb{C}}$ ist $k$-te primitive Einheitswurzel in ${\protect \mathbb{C}}$. Sei $R := {\protect \mathbb{Z}}[\xi_k]$ der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in $K={\protect \mathbb{Q}}(\xi_k)$ und sei $P\lhd R$ Primideal mit $P\cap {\protect \mathbb{Z}}= p{\protect \mathbb{Z}}$. Dann existiert ein Galoisautomorphismus $\tau\in\operatorname{Gal}(K/{\protect \mathbb{Q}})$, so daß $\xi_k\tau + P\tau$ eine $k$-te primitive Einheitswurzel in $R/P\tau$ ist, die das gleiche Minimalpolynom hat, wie $\zeta^{m/k}$. Wie in Bemerkung 1.1.4 wird nun ein $p$-modulares System $(\widetilde{K}, \widetilde{R}, F)$ für das fest gewählte Primideal $P\tau$ bestimmt. (Siehe auch [Mül91, Satz 1.3.5, Seite 6].)

Diese Bemerkung zeigt, daß zu dem fest gewählten endlichen Körper $F$ ein $p$-modulares System bestimmt werden kann, so daß $\lambda(\xi_k) = \zeta^{m/k}$ (für $\lambda$ aus (1.2) und $\xi_k = \exp(\frac{2\pi i}k)\tau$).