Restlicher Beweis zur Rekonstruktion des Brauerbaums

In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die Brauerbaum-Kandidaten (3.1), (3.3) und (3.4), die in [HL89] mit Hilfe der Green-Korrespondenz ausgeschlossen wurden, einen Widerspruch liefern, wenn man die in 3.1.2 konstruierten kondensierten Permutationsmoduln mit den Brauerbaum-Kandidaten vergleicht.

Sei ${\protect\mathcal{C}}$ die in Abschnitt 3.1.2 benutzte Kondensationsalgebra. Dann betrachte den Permutationsmodul $M = (1_{J_1})^{ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{ON}$}$ und berechne die Zerlegung des kondensierten ${\protect\mathcal{C}}$-Moduls $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ in seine Konstituenten $S_ie$ mit dem MeatAxe-Programm chop:

$$Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}} \leftrightarrow \bigoplus_i n_{S_ie} S_ie.$$

Die Dimensionen und die Vielfachheiten $n_{S_ie}$ der ${\protect\mathcal{C}}$-Moduln $S_ie$ sind in der Tabelle 3.5 zu sehen.

Desweiteren berechne mit GAP für jeden Brauerbaum-Kandidaten die zugehörigen Brauercharakter-Kandidaten des ersten Blocks $\varphi_1,\dots,\varphi_{10}$. Aus diesen Kandidaten kann man die Zerlegungszahlen und mit dem Skalarprodukt die Dimension der einfachen $eFGe$-Moduln berechnen. Es fällt auf, daß sich Dimension und Vielfachheiten der einfachen $eFGe$-Moduln für die verschiedenen Brauerbaum-Kandidaten unterscheiden.

Da der ${\protect\mathcal{C}}$-Modul $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ explizit konstruiert wurde, ist bekannt, welche Zerlegung für die Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}$ stimmt. Mit Bemerkung 2.1.2 werden nun die falschen Kandidaten ausgeschlossen.

In der Tabelle 3.10 sind die Vielfachheiten der $eFGe$-Konstituenten von $Me$, sortiert nach ihrer Dimension für die vier Brauerbaum-Kandidaten (3.1), (3.2), (3.3) und (3.4) angegeben.

• Die Vielfachheiten und Dimensionen der Konstituenten von $Me$ für den Kandidaten (3.2) stimmen mit den berechneten Vielfachheiten $n_{S_ie}$ und Dimensionen $\dim_F(S_ie)$ der Konstituenten von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ überein.
• Die Gesamtzahl der Konstituenten von $Me$ für den Kandidaten (3.1) stimmt mit der Anzahl der Konstituenten von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ überein. Also spalten keine Konstituenten von $Me$ auf. Ein Vergleich der Dimensionen führt nun zum Widerspruch.
• Die Gesamtzahl der Konstituenten von $Me$ im Fall der Kandidaten (3.3) und (3.4) ist $29$. Wäre einer dieser Kandidaten richtig, so würde genau ein Konstituent von $Me$ über der Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}$ aufspalten. Ein Vergleich der Dimensionen führt aber zum Widerspruch.

Somit folgt, daß die Brauerbaum-Kandidaten (3.1), (3.3) und (3.4) einen Widerspruch zu dem explizit konstruierten ${\protect\mathcal{C}}$-Modul $(1_{J_1})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$ liefern.

Tabelle 3.10: Vielfachheiten der Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e$, sortiert nach Dimensionen für die verschiedenen Brauerbaum-Kandidaten ($ON$, Primzahl 11, Block 1)

$$	Vielfachheiten der Konstituenten
$\dim Se$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-1-2}$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-1-1}$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-1-3}$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-1-4}$
$1\rule{0em}{2.5ex}$	$2+2$	$2+2$	$2+2$	$2+2$
2	$2+2+2$	$2+2$	$1+1+2+2$	$1+1+2$
3	$1+1+1+1$	$1+1+1+1+2$	$1+1+1+1$	$1+1+1+1+2$
4	$1+2+2$	$1+2+2$	$2$	$2$
5	$1$	$1+2$	$1$	$1+2$
6	$2+2+2+3$	$2+2+3$	$2+2+2+2+3$	$2+2+2+3$
7	$1$	$1$	$1$	$1$
Summe	30	30	29	29