Spuren

Sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System nach Bemerkung 1.1.9, $R$ habe genügend viele Einheitswurzeln, so daß $F$ ein Zerfällungskörper für $G$ ist.

2.3.1 Lemma   Sei $V$ ein $RG$-Modul mit zugehöriger $F$-Darstellung $\mathfrak{X}:G\to \operatorname{GL}_{\overline{V}}(F)$ und Brauercharakter $\beta_V:G_{p'}\to R$. $\lambda$ sei der Isomorphismus aus (1.2), additiv fortgesetzt auf Summen von Einheitswurzeln. Dann ist $\operatorname{Trace}( \mathfrak{X}(g)) = \lambda(\beta_V(g_{p'}))\in F$, wobei $g_{p'}$ der $p'$-Anteil von $g$ ist.

Beweis:Zunächst ist klar, daß die Fortsetzung von $\lambda$ auf Summen von Einheitswurzeln wohldefiniert ist, da $\bar{~}:R\to F$ ein Ringhomomorphismus ist.

Sei $g=g_pg_{p'} = g_{p'}g_p$ die Zerlegung von $g$ mit $g_{p'}\in G_{p'}$, d.h. $p \nmid o(g_{p'})$ und $o(g_p) = p^k$ für ein $k\in{\protect \mathbb{N}}$. Dann ist $\mathfrak{X}(g) = \mathfrak{X}(g_p) \mathfrak{X}(g_{p'})$. Seien nun $\alpha_i$ Eigenwerte von $\mathfrak{X}(g)$, so ist $\alpha_i = \epsilon_i\delta_i$, wobei $\epsilon_i$ Eigenwerte von $\mathfrak{X}(g_p)$ sind und $\delta_i$ Eigenwerte von $\mathfrak{X}(g_{p'})$ sind. Da $\epsilon_i^{o(g_p)} = \epsilon_i^{(p^k)} = 1\in F$, folgt $\epsilon_i=1$. Also gilt $\operatorname{Trace}( \mathfrak{X}(g)) = \operatorname{Trace}( \mathfrak{X}(g_{p'})) = \lambda(\beta_V(g_{p'}))$. (Siehe auch z.B.[Isa76, Lemma (15.2), Seite 264].)

Sei $V$ ein $RG$-Modul mit zugehörigem Brauercharakter $\beta_V$. Das vorige Lemma erlaubt es, den Brauercharakter auf ganz $G$ fortzusetzen:

$$\beta_V^*\glossary{$\beta_V^*$>Brauerlift}: G\to F: g\mapsto \lambda(\beta_V(g_{p'})),$$ (2.7)

wobei $g_{p'}$ der $p'$-Anteil von $g\in G$ und $\lambda$ wie im obigen Lemma der Isomorphismus aus (1.2) additiv fortgesetzt auf Summen von Einheitswurzeln ist. Damit gilt für alle Konjugiertenklassenvertreter $x_j\in G$

$$\operatorname{Trace}_{\overline{V}}(x_j) = \beta_V^*(x_j).$$