Kondensation von induzierten Moduln

Sei $F$ ein Körper und seien $U,H\leq G$, so daß $\operatorname{char}(F)\nmid \vert H\vert$. Sei $V$ ein $FU$-Modul und $e = e_H$ das zu $H$ gehörige Idempotent nach (2.1). Sei $\{g_i\mid i\in T\}$ für eine geeignete Indexmenge $T$ ein Vertretersystem der $U$-$H$-Doppelnebenklassen in $G$, d.h. $G = \bigcup_{i\in T}Ug_iH$. Für alle $i\in T$ sei $\{u_{ij} \mid j\in J_i\}$ für eine geeignete Indexmenge $J_i$ ein Vertretersystem der $U^{g_i}\cap H$-Rechtsnebenklassen in $H$, ür alle $i\in T$ gilt $H = \bigcup_{j\in J_i} u_{ij}(U^{g_i}\cap H)$. Dann gilt

$$V^G e \cong \operatorname{Hom}_H(1_H, (V^G)_H) \cong \bigoplus_{i\in T} \operatorname{Hom}_H(1_H, ((V^{g_i})_{U^{g_i}\cap H})^H)$$

$$\overset{*}{\cong} \bigoplus_{i\in T} \operatorname{Hom}_{U^{g_i}\cap H}(1_{U^{g_i}\cap H}, (V^{g_i})_{U^{g_i}\cap H})$$

$$\cong \bigoplus_{i\in T} \operatorname{Hom}_{U\cap{}^{g_i}H}(1_{U... ...U\cap{}^{g_i}H}) \cong \bigoplus_{i\in T} \operatorname{Fix}_V(U\cap{}^{g_i}H).$$

Der Isomorphismus $*$ ist dabei gegeben als

$$*: \operatorname{Hom}_{U^{g_i}\cap H}(1_{U^{g_i}\cap H}, (V^{g_i}... ...ratorname{Hom}_H(1_H, ((V^{g_i})_{U^{g_i}\cap H})^H): \varphi\mapsto\varphi^*,$$

wobei $\varphi^*\in \operatorname{Hom}_H(1_H, ((V^{g_i})_{U^{g_i}\cap H})^H)$ definiert ist durch

$$\varphi^*:1_H\to((V^{g_i})_{U^{g_i}\cap H})^H : \lambda \mapsto \varphi(\lambda) \cdot \sum_{j\in J_i} u_{ij}.$$

Dadurch ergibt sich eine explizite Mackey-Zerlegung von $V^G e$:

$$V^G e = \bigoplus_{i\in T}\Bigl(\operatorname{Fix}_V(U\cap{}^{g_i... ..._{i\in T}\Bigl(Ve_{(U\cap{}^{g_i}H)} \otimes g_i \sum_{j\in J_i} u_{ij}\Bigr).$$

Die Operation von $ege\in eFGe$ für ein $g\in G$ auf $V^G e$ kann nun durch die Operation von $e$ und $g$ auf $V^G$ in der Mackey-Zerlegung bestimmt werden. Für $v\in V$ existieren $h'\in U$, $i'\in T$ und $j'\in J_{i'}$ (abhängig von $i$ und $j$) so daß

$$(v\otimes g_i u_{ij}) \cdot g = v \otimes h' g_{i'}u_{i'j'} = v h' \otimes g_{i'}u_{i'j'}.$$

Somit folgt für $v\in \operatorname{Fix}_V(U\cap{}^{g_i}H)$:

$$\Bigl(v\otimes g_i \sum_{j\in J_i} u_{ij}\Bigr) \cdot e g = \sum_... ...} (v\otimes g_i u_{ij}) \cdot g = \sum_{j\in J_i} vh' \otimes g_{i'} u_{i'j'}.$$

Sei $e_i = e_{(U\cap{}^{g_i}H)}$ das zu $U\cap{}^{g_i}H$ gehörige Idempotent. Für die Operation von $e$ auf $V^G$ betrachte für jedes $i\in T$ die Zerlegung

$$e = \frac{\vert U^{g_i}\cap H\vert}{\vert H\vert} \cdot e_i \cdot \sum_{j\in J_i} u_{ij} \in FH.$$

Für $v\in V$ folgt somit

$$(v\otimes g_i u_{ij}) \cdot e = (v\otimes g_i) \cdot e = \frac{\v... ...g_i}\cap H\vert}{\vert H\vert} \cdot v e_i \otimes g_i \sum_{j\in J_i} u_{ij}.$$

Die Implementierung dieser Berechnungen in GAP wird in [MR99] beschrieben. Für die Berechnungen wird eine Implementation von GAP mit der MeatAxe-Arithmetik für endliche Körper verwendet [Kim97].

2.2.3 Beispiel (Kondensation eines induzierten Moduls in GAP )
Sei $U = L_3(7):2\index{Gruppe>$L_3(7):2$} \leq 3.ON = G$ und $V = 56a$ einer der beiden 56-dimensionalen $FU$-Moduln. In diesem Beispiel werden die Schritte der Kondensation des induzierten $FG$-Moduls $V^{3.ON} = (56a_{L_3(7):2})^{3.ON}\index{Modul>$(56a_{L_3(7):2})^{3.ON}$}$ mit der Kondensationsgruppe $H = L_2(31)\index{Gruppe>$L_2(31)$}$ in GAP erläutert. Diese Kondensation ist Teil des Beweis für den Brauerbaum des zweiten Blocks von $3.ON$ über Charakteristik 11. Dazu siehe auch Abschnitt 3.2 auf Seite .

$a$ und $b$ seien Standarderzeuger von $3.ON$, die als Permutationen auf 368$\,$280 Punkten gegeben sind. Die Konstruktion dieser Permutationsdarstellung wird in Abschnitt 4.5 beschrieben. Wie in Abschnitt 4.2 beschrieben, werden die Erzeuger $l_1 = \texttt{l1}$ und $l_2 = \texttt{l2}$ der Untergruppe $\langle l_1,l_2\rangle = H \cong L_2(31) \leq 3.ON$ aus den Standarderzeugern $a,b$ berechnet. Die Ordnung von $H$ ist 14$\,$880.

Die $U$-$H$-Doppelnebenklassen in $G$ stehen in Bijektion mit den $H$-Bahnen auf $(1_U)^G$. Eine geeignete Menge $\{g_i\mid i\in T\}$ wird durch einen randomisierten Schreier-Sims-Algorithmus gefunden. Da $U = \operatorname{Stab}_G(U\cdot 1)$, erhält man auch ein Erzeugendensystem für $U$. Ebenso erhält man für $U^{g_i}\cap H = \operatorname{Stab}_H(U\cdot g_i)$ eine geeignete Menge $\{u_{ij} \mid j\in J_i\}$ durch den Schreier-Sims-Algorithmus. Dies berechnet die Methode InitIndCond().

infoperm.chain ist die mit dem Schreier-Sims-Algorithmus gefundene Stabilisatorkette. Die Methode StabGens() bestimmt die Liste sgens der Erzeuger des ersten Stabilisators in der Stabilisatorkette. Der erste Stabilisator ist $S = \operatorname{Stab}_{3.ON}(1)\cong L_3(7):2 \cong U$. Aus diesen Erzeugern erhält man folgendermaßen eine Permutationsdarstellung von $L_3(7):2$ auf 456 Punkten:

Nun wird die Operation von $S$ auf die Bahn der Länge 19$\,$152 eingeschränkt. Dann werden nacheinander minimale Blocksysteme berechnet und die Operation wird auf diese Blocksysteme eingeschränkt.

Die Erzeuger von $\texttt{Sop3}\cong L_3(7):2$ sind nun als Permutationen auf 456 Punkten gegeben. Nun kann, wie in Abschnitt 4.8 beschrieben, ein 56-dimensionaler Modul über $GF(11^2)$ konstruiert werden. Sei rep die Liste der aus sgens bestimmten Erzeuger des 56-dimensionalen $FU$-Moduls $V$. Nun werden in einem ersten Schritt die Berechnungen für $V$ durchgeführt, die nur einmal für alle zu kondensierenden Elemente $g\in G$ gemacht werden müssen (für eine genauere Beschreibung dieser Schritte siehe [MR99, Abschnitt 4.2]):

Schließlich können nacheinander alle gewünschten Elemente $g\in G$ kondensiert werden:

cond enthält nun (entsprechend der Analyse in Abschnitt 3.2) eine 1$\,$482-dimensionale Matrix über $GF(11^2)$, die bis auf einen Faktor $\vert H\vert = 14\,880$ der Darstellung von $ege$ entspricht. Damit gilt $\operatorname{Trace}_{Ve}(ege) = 14880^{-1}\operatorname{Trace}(\texttt{cond})$. $\blacksquare$