Konjugiertheitstest in $3.ON$

Sei $z\in Z(3.ON)$ zentrales Element von $3.ON$ (von Ordnung 3). Dann sind die Urbilder eines Elementes $g\in ON$ in $3.ON$ gegeben durch $\{\tilde{g}, z\tilde{g}, z^2\tilde{g}\}$. OBdA.sei für die folgenden Betrachtungen $\tilde{g}$ so gewählt, daß $o(g) = o(\tilde{g})$.

In $3.ON$ gibt es 80 Konjugiertenklassen. Sei $y\in 3.ON$, dann gilt $o(y) \in \{1, 2, 5, 10, 11, 14\} \cup \{4, 7, 8, 16, 19, 20, 28, 31\} \cup \{3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 42, 48, 57, 60, 84, 93\}$.

Betrachte die folgenden Fälle:

• Sei $o(y) \in \{1, 2, 5, 10, 11, 14\} =: N_1$, dann ist die Zugehörigkeit von $y$ zu einem $Cl_j$ festgelegt, da es jeweils genau eine Konjugiertenklasse dieser Ordnung in $3.ON$ gibt.
• Falls $3\nmid o(y)\not\in N_1$ so ist $o(y)\in\{4, 7, 8, 16, 19, 20, 28, 31\} =: N_2$ und es gilt $y = \tilde{g}$ für ein $g\in ON$. Damit kann die $3.ON$-Klassenzugehörigkeit von $y$ analog zum Konjugiertheitstest in $ON$ bestimmt werden.
• Falls $3\mid o(y)\not\in N_1$ und $o(z^iy) = o(y)/3$ für ein $i\in\{1,2\}$, so ist
  $$o(y)\in\{3, 6, 12, 15, 21, 24, 30, 33, 42, 48, 57, 60, 84, 93\} =: N_3.$$
  Es gilt $z^iy = \tilde{g}$ für ein $g\in ON$. Dann ist $y \in z^{3-i}\tilde{g}^{3.ON}$ und das Urbild von der $ON$-Konjugiertenklasse $g^{ON}$ spaltet in $3.ON$ in drei $3.ON$-Konjugiertenklassen $\tilde{g}^{3.ON}$, $z\tilde{g}^{3.ON}$ und $z^2\tilde{g}^{3.ON}$ auf. Die Zuordnung von $y$ zu einer $3.ON$-Konjugiertenklasse erfolgt nun analog zum ersten bzw.zweiten Fall für $y' = z^iy$, denn $o(y') = o(y)/3 \in \{1,2,5,10,11,14\} \cup \{4,7,8,16,19,20,28,31\} = N_1\cup N_2$.
• Falls $3\mid o(y)$ und $o(z^iy) = o(y)$ für $i=1,2$, so ist $o(y) \in \{3,6,12,15\} =: N_4 \subset N_3$. Für die Elemente $y$ mit $o(y)\in \{3,6,12\}$ ist dieser Fall schon eindeutig, da es jeweils nur eine $3.ON$-Klasse mit dieser Bedingung gibt.

  Nun gibt es noch zwei Klassen von Ordnung 15. Auf diesen Klassen haben alle gewöhnlichen Charaktere des zweiten und dritten Blocks von $3.ON$ in den Charakteristiken $p\in\{11,19,31\}$ den Wert 0. Daher kann die Zuordnung zu den Klassen vernachlässigt werden.

Beachte, daß $N_1\,\dot{\cup}\, N_2\,\dot{\cup}\, N_3$ eine disjunkte Zerlegung der Element-Ordnungen von $3.ON$ ist.