Restlicher Beweis zur Rekonstruktion des Brauerbaums

Sei $M = (1_{J_1})^{ON}$. In der Tabelle 3.25 sind die Vielfachheiten der Konstituenten von $Me$, sortiert nach ihrer Dimension für die beiden Brauerbaum-Kandidaten (3.7) und (3.8) angegeben. Der Vergleich der Dimensionen der Konstituenten von $Me$ liefert keinen Widerspruch.

Tabelle 3.25: Vielfachheiten der Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e$, sortiert nach Dimensionen ($ON$, Primzahl 19, Block 1)

$$	Vielfachheiten der Konstituenten
$\dim Se$	$\eqref{eq:brauer-baum-19-1-2}$	$\eqref{eq:brauer-baum-19-1-1}$
$1\rule{0em}{2.5ex}$	$1+1+2$	$1+1+2$
2	$2+3+4$	$2+4$
3	$1+1+1+1+1$	$1+1+1+1+1$
4	$1+2+3$	$1+2$
5	$1$	$1$
6	$2+2+4$	$2+2+3+4$
Summe	33	30

Also betrachte die Spuren des Kandidaten (3.7), die in der Tabelle 3.28 zu sehen sind. In Tabelle 3.26 sind die Zerlegungszahlen und in Tabelle 3.27 sind die Dimensionen der einfachen $eFGe$-Moduln für den Kandidaten (3.7) im ersten Block zu sehen.

Tabelle: Zerlegungszahlen für den Brauerbaum-Kandidaten (3.7) ($ON$, Primzahl 19, Block 1)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$(1_{J1})^{ON}$	$2$	$3$	$1$	$4$	$4$	$3$

Tabelle: Skalarprodukte für den Brauerbaum-Kandidaten (3.7) ($ON$, Primzahl 19, Block 1)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$1_H\rule{0cm}{2.5ex}$	1	2	4	2	4	6

Tabelle 3.28: Spurformel für $g_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten aus (3.7) von $ON$, Primzahl 19, Block 1

		$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$
4	5	$(\zeta_{19})^4$	0	$(\zeta_{19})^{16}$
5	4	$(\zeta_{19})^4$	$(\zeta_{19})^{17}$	$(\zeta_{19})^7$

Nach den Tabellen 3.27 und 3.26 kondensiert $\varphi_{4}$ zu einem einfachen $eFGe$-Modul der Dimension zwei, der in $M$ mit Vielfachheit vier vorkommt. Anhand der Dimensionen in Tabelle 3.25 sieht man, daß kein zweidimensionaler $eFGe$-Modul bzgl.der benutzten Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}$ aufspalten kann. Mit Tabelle 3.21 folgt $\operatorname{Trace}_{\varphi_4e}(eg_{31}e) = 1$. Dies liefert den Widerspruch, da nach Tabelle 3.28 gilt: $\operatorname{Trace}_{\varphi_4e}(eg_{31}e)\in\{0,(\zeta_{19})^{17}\}$. Somit ist der Kandidat (3.7) auszuschließen.