Kondensation

Der Permutationsmodul $(1_{J_1})^{ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{ON}$}$ kondensiert unter Kondenstion mit der Kondensationsgruppe $H = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}\index{Gruppe>$3^4:2^{1+4}_-D_{10}$}\leq ON$ in Charakteristik 19 zu einem $eFGe$-Modul der Dimension 114. In der Tabelle 3.18 sind die Zerlegungszahlen des ersten Blocks für diesen Permutationsmodul und in der Tabelle 3.19 sind die Dimensionen der einfachen kondensierten $eFGe$-Moduln des ersten Blocks angegeben. Die Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}:= \langle eae, ebe, eg_{31}e, eg_{28}e\rangle$.

Tabelle 3.18: Zerlegungszahlen ($ON$, Primzahl 19, Block 1)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$(1_{J1})^{ON}\rule{0cm}{2.5ex}$	2	4	1	3	3	4

Tabelle 3.19: Skalarprodukte ($ON$, Primzahl 19, Block 1)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$1_H$	$1$	$2$	$4$	$2$	$4$	$6$

Beim Kondensieren ergeben sich für die kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e\in {\protect\mathcal{C}}$ die Spuren auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$ entsprechend der Tabelle 3.21. In der Tabelle 3.22 sind die Werte $\vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_{\varphi_i}(gh)$ der Spurformel (2.3) für die Elemente $g_{31}$, bzw.in der Tabelle 3.23 die Werte für $g_{28}$ enthalten.

Tabelle 3.21: Spuren der kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e$ auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, (ON, Primzahl 19, Block 1).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{31}e)$	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{28}e)$
1a	1	$(\zeta_{19})^5$	$(\zeta_{19})^{11}$
1b	2	$1$	$1$
1c	1	$(\zeta_{19})^{16}$	0
2a	2	$\zeta_{19}$	$(\zeta_{19})^6$
2b	3	0	$(\zeta_{19})^{10}$
2c	4	$1$	$(\zeta_{19})^8$
3a	1	$(\zeta_{19})^{16}$	$(\zeta_{19})^{13}$
3b	1	$(\zeta_{19})^7$	$(\zeta_{19})^{11}$
3c	1	$(\zeta_{19})^9$	$(\zeta_{19})^{13}$
3d	1	$(\zeta_{19})^9$	$(\zeta_{19})^2$
3e	1	$(\zeta_{19})^{16}$	$(\zeta_{19})^4$
4a	1	$(\zeta_{19})^{12}$	$(\zeta_{19})^7$
4b	3	$1$	$(\zeta_{19})^{10}$
4c	2	0	$(\zeta_{19})^{16}$
5a	1	$(\zeta_{19})^{16}$	$(\zeta_{19})^{10}$
6a	4	$(\zeta_{19})^2$	$(\zeta_{19})^6$
12a1	2	$(\zeta_{19})^5$	$1$

Tabelle 3.22: Spurformel für $g_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 19, Block 1

		$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$
4	5	$1$	0	$1$
5	4	$1$	$(\zeta_{19})^{17}$	$(\zeta_{19})^{17}$

Tabelle 3.23: Spurformel für $g_{28}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 19, Block 1

		$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{28}h)$
$a_1$	$a_2$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$
4	5	$(\zeta_{19})^8$	$(\zeta_{19})^{10}$	$(\zeta_{19})^{10}$
5	4	$(\zeta_{19})^8$	$(\zeta_{19})^{15}$	$(\zeta_{19})^{13}$

Nun werden die Spuren für das Element $g_{31}$ in Tabelle 3.21 mit den Spuren nach der Spurformel (2.3) für die verschiedenen Brauerbaum-Kandidaten verglichen:

Nach der Tabelle 3.19 kondensiert $\varphi_{4}$ zu einem Modul der Dimension zwei, der in $(1_{J_1})^{ON}$ dreimal vorkommt. Mit der Tabelle 3.21 folgt $\operatorname{Trace}_{\varphi_4e}(eg_{28}e) \in \{(\zeta_{19})^{10}, (\zeta_{19})^8\}$. Damit wird der Fall $a_1=5$ ausgeschlossen. Also gilt $a_1=4$ und $a_2=5$. Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.6 dargestellt.

Abbildung 3.6: Der Brauerbaum von $ON$, Primzahl 19, Block 1