Rekonstruktion des Brauerbaums

In Tabelle 3.24 sind drei projektive Charaktere und deren Zerlegung in die irreduziblen gewöhnlichen Charaktere des ersten Blocks angegeben. Die Tabelle ist aus [HL89] entnommen. Aus diesen projektiven Charakteren kann der Brauerbaum folgendermaßen rekonstruiert werden:

Tabelle 3.24: Projektive Charaktere von $ON$, Primzahl 19, Block 1

Nr.:	1	2	3	4	5	6	7
Typ:	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$
$\Phi_1 := \chi_{31}\otimes\chi_{32}$	1		1
$\Phi_2 := \chi_{31}\otimes\chi_{54}$		2	3	4	4	4	5
$\Phi_3 := \chi_{35}\otimes\chi_{40}$			1	1	1	2	1

Man sieht (z.B.nach [CCN$^$85]), daß alle irreduziblen gewöhnlichen Charaktere des ersten Blocks reelle Charakterwerte habe. Nach Satz 1.3.3 ist der Brauerbaum also eine gerade Linie.

Mit $\Phi_1$ folgt, daß 1 und 3 benachbart sind. Mit $\Phi_3$ folgt nun, daß entweder 6 oder 7 ein Nachbar von Knoten 3 ist. Mit $\Phi_3$, für den Fall, daß 6 der Nachbar von 3 ist, und mit $\Phi_2$, für den Fall, daß 7 der Nachbar von 3 ist, folgt dann sofort, daß der Baum von folgender Form ist:

wobei $\{a_1,a_2\} = \{4,5\}$ und $\{b_1,b_2\} = \{6,7\}$ ist. Mit $\Phi_2$ folgt schließlich, daß der letzte Knoten die 2 ist. Es gibt also die folgenden Brauerbaum-Kandidaten:

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture}(70,10) \put(5,1){\lin... ...ut(55,3){\makebox(0,0)[b]{$a_2$}} \put(65,3){\makebox(0,0)[b]{2}} \end{picture}$$ (3.7)

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture}(70,10) \put(5,1){\lin... ...ut(55,3){\makebox(0,0)[b]{$a_2$}} \put(65,3){\makebox(0,0)[b]{2}} \end{picture}$$ (3.8)

In [HL89] wird die Möglichkeit (3.7) mit Hilfe der Green-Korrespondenz für den zweiten Block ausgeschlossen. In Abschnitt 3.3.4 zeige ich unabhängig von der Green-Korrespondenz allein mit Hilfe der Kondensation von Permutationsmoduln, daß dieser Kandidat falsch ist.