Kondensation

Die erste bzw.zweite maximale Untergruppe von $ON$ ist eine $L_3(7).2$. Die Gruppe $L_3(7).2$ hat zwei kleine Darstellungen vom Grad 56. Diese beiden Darstellungen lassen sich erst über $GF(121)$ realisieren, d.h.über $GF(11)$ existiert eine 112-dimensionale Darstellung, die aus der Summe der beiden 56-dimensionalen Darstellungen besteht. Für den Beweis wird eine der beiden 56-dimensionalen Darstellungen nach $3.ON$ induziert. Die Tabelle 3.12 enthält die Zerlegungszahlen für die induzierte 56-dimensionale Darstellung $M := (56a_{L_3(7):2})^{3.ON}\index{Modul>$(56a_{L_3(7):2})^{3.ON}$}$ für den zweiten Block.

Das Urbild der achten maximalen Untergruppe $L_2(31)\leq ON$ von $ON$ ist ein direktes Produkt $3\times L_2(31)\leq 3.ON$ in $3.ON$. Als Kondensationsgruppe wird $H = L_2(31)\index{Gruppe>$L_2(31)$}\leq 3\times L_2(31) \leq 3.ON$ genommen. Zur Konstruktion von $H$ siehe auch Abschnitt 4.2. Die Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}:= \langle eAe, eBe, e\tilde{g}_{31}e\rangle$. In Tabelle 3.13 sind die Dimensionen der einfachen kondensierten Moduln des zweiten Blocks angegeben.

Tabelle 3.12: Zerlegungszahlen ($3.ON$, Primzahl 11, Block 2)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
$(56a_{L3(7).2})^{3.ON}\rule{0em}{2.5ex}$	3	3	4	5	5	5	5	5	6	5

Tabelle 3.13: Skalarprodukte ($3.ON$, Primzahl 11, Block 2)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
$1_H\rule{0em}{2.5ex}$	0	0	5	6	4	4	4	10	10	8

Der kondensierte $eFGe$-Modul $Me = (56a_{L_3(7).2})^{3.ON}e$ hat die Dimension $1482$. Beim Kondensieren des induzierten Moduls mit $H$ ergeben sich für das kondensierte Element $e\tilde {g}_{31}e$ die Spuren auf den Konstituenten von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ nach Tabelle 3.14.

Tabelle 3.14: Spuren des kondensierten Elementes $e\tilde {g}_{31}e$ auf den Konstituenten von $56a^{3.ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($3.ON$, Primzahl 11, Block 2).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$1a$	2	$(\zeta_{11})^6$
$1b$	1	$1$
$2a$	2	0
$2b$	4	$(\zeta_{11})^6$
$2c$	4	0
$2d$	6	0
$3a$	1	$(\zeta_{11^2})^{11}$
$3b$	1	$(\zeta_{11^2})^{44}$
$4a$	1	$(\zeta_{11})^6$
$4b$	4	$(\zeta_{11})^2$
$4c$	1	$(\zeta_{11^2})^{119}$
$4d$	1	$(\zeta_{11^2})^{109}$
$4e$	5	$(\zeta_{11^2})^{47}$
$4f$	5	$(\zeta_{11^2})^{101}$
$4g$	5	$(\zeta_{11^2})^{45}$
$4h$	5	$(\zeta_{11^2})^{37}$
$4i$	5	$(\zeta_{11^2})^{31}$
$4j$	5	$(\zeta_{11^2})^{15}$
$5a$	1	$(\zeta_{11})^4$
$5b$	1	$(\zeta_{11^2})^{27}$
$5c$	1	$(\zeta_{11^2})^{57}$
$5d$	4	$(\zeta_{11^2})^{45}$
$5e$	4	$(\zeta_{11^2})^{15}$
$6a$	1	$(\zeta_{11})^7$
$6b$	1	$(\zeta_{11^2})^{3}$
$6c$	1	0
$6d$	1	$1$
$6e$	1	$(\zeta_{11^2})^{33}$
$6f$	5	$(\zeta_{11^2})^{79}$
$6g$	5	$(\zeta_{11^2})^{29}$
288

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$7a$	2	$(\zeta_{11})^8$
$8a$	2	$(\zeta_{11})^6$
$8b$	5	$\zeta_{11}$
$8c$	5	$\zeta_{11}$
$10a$	2	$(\zeta_{11^2})^{33}$
$10b$	3	$(\zeta_{11^2})^{3}$
$10c$	2	$\zeta_{11}$
$10d$	6	$(\zeta_{11})^7$
$10e$	2	$(\zeta_{11})^6$
$10f$	6	$(\zeta_{11^2})^{109}$
$10g$	5	$(\zeta_{11^2})^{64}$
$10h$	6	$(\zeta_{11^2})^{119}$
$10i$	5	$(\zeta_{11^2})^{104}$
$12a$	6	$(\zeta_{11})^7$
$12b$	6	$(\zeta_{11})^3$
$14a$	3	$(\zeta_{11^2})^{102}$
$14b$	3	$(\zeta_{11^2})^{42}$
$14c$	3	$(\zeta_{11^2})^{2}$
$14d$	3	$(\zeta_{11^2})^{22}$
$14e$	3	$(\zeta_{11^2})^{17}$
$14f$	3	$(\zeta_{11^2})^{67}$
$17a$	4	$(\zeta_{11^2})^{95}$
$17b$	4	$(\zeta_{11^2})^{85}$
$17c$	4	$(\zeta_{11^2})^{103}$
$17d$	4	$(\zeta_{11^2})^{53}$
313

Tabelle 3.15: Spurformel für $\tilde {g}_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $3.ON$, Primzahl 11, Block 2

					$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(\tilde{g}_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
6	7	9	10	11	$(\zeta_{11^2})^{106}$	$(\zeta_{11^2})^{63}$	$(\zeta_{11^2})^{10}$	$(\zeta_{11^2})^{46}$
6	7	9	11	10	$(\zeta_{11^2})^{41}$	$(\zeta_{11^2})^{57}$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11^2})^{46}$
6	7	10	9	11	$(\zeta_{11^2})^{106}$	$(\zeta_{11^2})^{63}$	$(\zeta_{11^2})^{10}$	$(\zeta_{11^2})^{31}$
6	7	10	11	9	$(\zeta_{11^2})^{15}$	$(\zeta_{11^2})^{29}$	$(\zeta_{11^2})^{37}$	$(\zeta_{11^2})^{31}$
6	7	11	9	10	$(\zeta_{11^2})^{41}$	$(\zeta_{11^2})^{57}$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11^2})^{75}$
6	7	11	10	9	$(\zeta_{11^2})^{15}$	$(\zeta_{11^2})^{29}$	$(\zeta_{11^2})^{37}$	$(\zeta_{11^2})^{75}$
7	6	9	10	11	$(\zeta_{11^2})^{97}$	$(\zeta_{11^2})^{40}$	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11^2})^{37}$
7	6	9	11	10	$(\zeta_{11^2})^{80}$	$(\zeta_{11^2})^{100}$	$(\zeta_{11^2})^{83}$	$(\zeta_{11^2})^{37}$
7	6	10	9	11	$(\zeta_{11^2})^{97}$	$(\zeta_{11^2})^{40}$	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11^2})^{113}$
7	6	10	11	9	$(\zeta_{11^2})^{79}$	$(\zeta_{11^2})^{73}$	$(\zeta_{11^2})^{87}$	$(\zeta_{11^2})^{113}$
7	6	11	9	10	$(\zeta_{11^2})^{80}$	$(\zeta_{11^2})^{100}$	$(\zeta_{11^2})^{83}$	$(\zeta_{11^2})^{19}$
7	6	11	10	9	$(\zeta_{11^2})^{79}$	$(\zeta_{11^2})^{73}$	$(\zeta_{11^2})^{87}$	$(\zeta_{11^2})^{19}$

Vergleiche nun die verschiedenen Spuren nach der Spurformel (2.3) für das Element $\tilde {g}_{31}$:

• Nach den Tabellen 3.13 und 3.12 kondensiert $\varphi_{3}$ zu einem Modul der Dimension fünf, der in $M$ viermal vorkommt. Nach Tabelle 3.14 gilt also $\operatorname{Trace}_{\varphi_3e}(e\tilde{g}_{31}e) \in \{(\zeta_{11^2})^{15}, (\zeta_{11^2})^{45}\}$. Dies läßt nur noch den vierten und sechsten Fall zu. Damit sind schon $a_1=6$, $a_2=7$ und $b_3=9$ festgelegt.
• Nach den Tabellen 3.13 und 3.12 kondensiert $\varphi_{6}$ zu einem Modul der Dimension vier, der in $M$ fünfmal vorkommt. Nach Tabelle 3.14 gilt also
  $$\operatorname{Trace}_{\varphi_3e}(e\tilde{g}_{31}e) \in \{(\zeta_... ..._{11^2})^{37}, (\zeta_{11^2})^{47}, \zeta_{11^2})^{15}, (\zeta_{11^2})^{45}\}.$$
  Der vierte Fall liefert nach der Spurformel die Spur $(\zeta_{11^2})^{31}$, im sechsten Fall wäre die Spur $(\zeta_{11^2})^{75}$, was ein Widerspruch ist. Damit sind auch $b_1=10$ und $b_2=11$ festgelegt.

Insgesamt folgt somit $a_1=6$, $a_2=7$, $b_1=10$, $b_2=11$ und $b_3=9$. Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.4 dargestellt.

Abbildung 3.4: Der Brauerbaum von $3.ON$, Primzahl 11, Block 2