Zur Rekonstruktion des Brauerbaums

In [HL89] wurden analog zum Verfahren in Abschnitt 3.1.4 jeweils (bis auf algebraische Konjugation der Charaktere $\{\hat{\chi}_{65},\hat{\chi}_{67}\}$ und $\{\hat{\chi}_{71},\hat{\chi}_{73},\hat{\chi}_{75}\}$) drei Brauerbaum-Kandidaten aus einer Menge von projektiven Charakteren bestimmt. Dabei wurden mit Hilfe der Green-Korrespondenz die Kandidaten (3.5) und (3.6) ausgeschlossen.

$$\begin{minipage}[c]{90mm}\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{pictu... ...t(14,26){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize\textsf{2}}} \end{picture}\end{minipage}$$ (3.5)

$$\begin{minipage}[c]{90mm}\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{pictu... ...t(34,26){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize\textsf{2}}} \end{picture}\end{minipage}$$ (3.6)

Ich zeige hier, daß der Kandidat (3.6) auch mit Mitteln der Kondensation einen Widerspruch liefert. Dazu betrachte den $FG$-Modul $M=(1_{J_1})^{3.ON}$ unter der Kondensation mit der Kondensationsgruppe $H=L_2(31)$ und dem Idempotent $e = e_H$. ${\protect\mathcal{C}}$ sei die im vorigen Abschnitt benutzte Kondensationsalgebra.

Angenommen, der Brauerbaum-Kandidaten aus (3.6) ist richtig. Dann kann man mit GAP nachrechnen, daß der $eFGe$-Modul $Me$ genau 90 Konstituenten hat - siehe auch Tabelle 3.16. Nach der expliziten Konstruktion von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ als ${\protect\mathcal{C}}$-Modul gibt es nur 86 Konstituenten. Dies ist ein Widerspruch zu Bemerkung 2.1.2.

Tabelle 3.16: Vielfachheiten der Konstituenten von $(1_{J_1})^{3.ON}e$, sortiert nach Dimensionen ($3.ON$, Primzahl 11, Block 2)

$$	Vielfachheiten der Konstituenten
$\dim Se$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-2-x}$	$\eqref{eq:brauer-baum-11-2-y}$
1	$1+2$	$1+2$
2	$2+2+2+3$	$2+2+2+3$
3	0	0
4	$1+1+1+1+1+1+4+4$	$1+1+3+3+4+4$
5	$1+4+4$	$1+4+4$
6	$1+1+1+3+3$	$1+1+1+3+3+3+3$
7	$2$	$2$
8	$1+1+2$	$1+1+1+1+2$
10	$1+2+3+3+3+3$	$1+2+3+3$
12	$2+3$	$2+3$
14	$2+2+2+2+2+2$	$2+2+2+2+2+2$
17	$1+1+1+1$	$1+1+1+1$
Summe	86	90

Man kann hier nicht erwarten, daß bei der Kondensation von $(1_{J_1})^{3.ON}$ auch ein Widerspruch für den Kandidaten (3.5) abfällt, denn dieser Kandidat unterscheidet sich von dem Brauerbaum aus Abbildung 3.3 nur durch die Position der beiden 342-dimensionalen Charaktere $\hat{\chi}_{31}$ und $\hat{\chi}_{33}$ am restlichen Baum. Bei der durchgeführten Kondensation verschwinden die zu diesen Charakteren gehörigen einfachen $FG$-Moduln, wie man in Tabelle 3.13 sehen kann.