Zur Rekonstruktion des Brauerbaums

In [HL89] wurden analog zum Verfahren in Abschnitt 3.3.3 jeweils (bis auf algebraische Konjugation der Charaktere $\hat{\chi}_{77}$ und $\hat{\chi}_{79}$) zwei Brauerbaum-Kandidaten aus einer Menge von projektiven Charakteren bestimmt. Dabei wurde mit Hilfe der Green-Korrespondenz der Kandidat (3.9) ausgeschlossen.

$$\begin{minipage}[c]{50mm} \setlength{\unitlength}{1mm}\begin{pict... ...(34,26){\makebox(0,0)[r]{\footnotesize\textsf{2}}} \end{picture} \end{minipage}$$ (3.9)

Ich zeige hier, daß der Kandidat (3.9) auch mit Mitteln der Kondensation einen Widerspruch liefert. Dazu benutze die Bemerkung 2.1.2 und betrachte die Anzahl der Dimensionen der einfachen kondensierten $eFGe$-Moduln in Tabelle 3.34 jeweils für den Brauerbaum aus Abbildung 3.7 und für den Brauerbaum-Kandidaten aus (3.9). Sei $Ve$ ein $eFGe$-Modul und ${\protect\mathcal{C}}$ sei die benutzte Kondensationsalgebra. Sei

$$d = \max\{\dim_F(S) \mid$$    $S$ ist Konstituent von $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$, oder $S$ ist Konstituent von $Ve$$$\}.$$

Dann folgt insbesondere aus der Bemerkung 2.1.2, daß für ${\protect\mathcal{C}}\leq eFGe$ die Anzahl der einfachen ${\protect\mathcal{C}}$-Konstituenten von $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ maximaler Dimension $d$, nicht größer sein kann als die Anzahl der einfachen $eFGe$-Konstiutuenten von $Ve$ der Dimension $d$.

Tabelle 3.34: Vielfachheiten der Konstituenten von $(1_{J_1})^{3.ON}e$, sortiert nach Dimensionen ($3.ON$, Primzahl 19, Block 2)

$$	Vielfachheiten der Konstituenten
$\dim Se$	$\ref{fig:brauertree-19-2}$	$\eqref{eq:brauer-baum-19-2-x}$
1	$1+1+2$	$1+1+2$
2	$1+1$	$3+3$
3	$1+1+1+1$	$1+1$
4	$1+1$	$1+1$
5	$1+1+4$	$1+1+1+1+4$
6	$1+1+1$	$1+1+1$
7	$2+3+3$	$2+3+3$
8	$2$	$2$
9	$2+2+4$	$2+2+4$
10	$2+2$	$2+2$
11	$2+2$	$2+2$
12	0	$3+3$
14	$2+2+2+2+2+2+3+3+4+4$	$2+2+2+2+2+2+4+4$

Der kondensierte ${\protect\mathcal{C}}$-Modul $(1_{J_1})^{3.ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$ hat aber sechs 14-dimensionale Konstituenten mehr, als die Zerlegung durch die Brauercharakter-Kandidaten des Brauerbaum-Kandidaten (3.9) verspricht. Also kann (3.9) nicht der Brauerbaum des zweiten Blocks von $3.ON$ in Charakteristik 19 sein.