Kondensation

Der Permutationsmodul $M := (1_{J_1})^{3.ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{3.ON}$}$ kondensiert mit der Kondensationsgruppe $H = L_2(31)\index{Gruppe>$L_2(31)$} \leq 3.ON$ in Charakteristik 19 zu einem Modul der Dimension 668. Beim Kondensieren mit der Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}= \langle eAe, eBe, e\tilde{g}_{31}e\rangle$ ergeben sich für das kondensierte Element $e\tilde{g}_{31}e\in {\protect\mathcal{C}}$ die Spuren auf den Konstituenten von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ entsprechend der Tabelle 3.32. In der Tabelle 3.33 sind die Werte $\vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_{\varphi_i}(gh)$ der Spurformel (2.3) für das Element $\tilde {g}_{31}$ enthalten.

Tabelle 3.30: Zerlegungszahlen ($3.ON$, Primzahl 19, Block 2)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$(1_{J1})^{3.ON}\rule{0cm}{2.5ex}$	1	1	1	1	3	4

Tabelle 3.31: Skalarprodukte ($3.ON$, Primzahl 19, Block 2)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
$1_H\rule{0em}{2.5ex}$	1	0	2	3	14	14

Tabelle 3.32: Spuren des kondensierten Elements $e\tilde {g}_{31}e$ auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{3.ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($3.ON$, Primzahl 19, Block 2).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$1a$	1	$(\zeta_{19})^2$
$1b$	2	$1$
$1c$	1	$(\zeta_{19})^9$
$2a$	1	$(\zeta_{19})^9$
$2b$	1	$(\zeta_{19})^5$
$3a$	1	$\zeta_{19}$
$3b$	1	$(\zeta_{19})^{12}$
$3c$	1	$(\zeta_{19})^4$
$3d$	1	$(\zeta_{19})^7$
$4a$	1	$(\zeta_{19})^{17}$
$4b$	1	0
$5a$	1	$(\zeta_{19})^7$
$5b$	1	$(\zeta_{19})^{17}$
$5c$	4	$(\zeta_{19})^2$
$6a$	1	$\zeta_{19}$
$6b$	1	$(\zeta_{19})^{3}$
$6c$	1	$1$
531

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$7a$	3	$(\zeta_{19})^{14}$
$7b$	3	$(\zeta_{19})^4$
$7c$	2	$(\zeta_{19})^4$
$8a$	2	$\zeta_{19}$
$9a$	4	$(\zeta_{19})^{10}$
$9b$	2	0
$9c$	2	$(\zeta_{19})^{13}$
$10a$	2	$(\zeta_{19})^{16}$
$10b$	2	$(\zeta_{19})^{16}$
$11a$	2	$(\zeta_{19})^{16}$
$11b$	2	$(\zeta_{19})^7$
$14a$	4	$(\zeta_{19})^{13}$
$14b$	4	$(\zeta_{19})^{11}$
$14c$	3	$(\zeta_{19})^{3}$
$14d$	3	$(\zeta_{19})^6$
$28a$1	2	$(\zeta_{19})^{13}$
$28b$1	2	$(\zeta_{19})^{16}$
$28c$1	2	$(\zeta_{19})^9$
550

Tabelle 3.33: Spurformel für $\tilde {g}_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $3.ON$, Primzahl 19, Block 2

		$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(\tilde{g}_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$
6	7	$(\zeta_{19})^7$	$(\zeta_{19})^9$	$(\zeta_{19})^6$	$(\zeta_{19})^{13}$
7	6	$(\zeta_{19})^9$	$(\zeta_{19})^7$	$(\zeta_{19})^6$	$(\zeta_{19})^{13}$

Nun werden die Spuren von $e\tilde {g}_{31}e$ in Tabelle 3.32 mit den Spuren nach der Spurformel (2.3) für die verschiedenen Brauerbaum-Kandidaten in Tabelle 3.33 verglichen.

Nach der Tabelle 3.31 kondensiert $\varphi_{3}$ zu einem Modul der Dimension zwei. Nach der Tabelle 3.32 gilt $\operatorname{Trace}_{\varphi_3 e}(e\tilde{g}_{31}e) \in \{(\zeta_{19})^9, (\zeta_{19})^5\}$. Damit wird der erste Fall ausgeschlossen. Also gilt $a_1=7$ und $a_2=6$. Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.8 dargestellt.

Abbildung 3.8: Der Brauerbaum von $3.ON$, Primzahl 19, Block 2