Kondensation

Für den Beweis wird der Permutationsmodul $M := (1_{J_1})^{3.ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{3.ON}$}$ mit der Kondensationsgruppe $H = 4^3.L_3(2)\index{Gruppe>$4^3.L_3(2)$}\leq 3.ON$ kondensiert. In der Tabelle 3.43 sind die Zerlegungszahlen des zweiten Blocks für die Permutationsmoduln und in der Tabelle 3.44 sind die Dimensionen der einfachen kondensierten Moduln des zweiten Blocks zu sehen. Die Dimension des kondensierten Permutationsmoduls ist 877. Die Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}= \langle eAe, eBe, e\tilde{g}_{31}e\rangle$.

Tabelle 3.43: Zerlegungszahlen ($3.ON$, Primzahl 31, Block 2)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$(1_{J1})^{3.ON}\rule{0cm}{2.5ex}$	2	2	2	2	2	2	0	4	3	4	1	3	3	3	1

Tabelle 3.44: Skalarprodukte ($3.ON$, Primzahl 31, Block 2)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$1_H\rule{0em}{2.5ex}$	0	0	0	0	0	0	0	4	15	8	4	8	11	15	4

Beim Kondensieren des Permutationsmoduls ergeben sich für das kondensierte Element $eg_{31}e\in {\protect\mathcal{C}}$ die Spuren auf den Konstituenten von $Me\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ entsprechend der Tabelle 3.45. In der Tabelle 3.46 sind die Werte $\vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_{\varphi_i}(gh)$ der Spurformel (2.3) für das Element $\tilde {g}_{31}$ enthalten.

Tabelle 3.45: Spuren des kondensierten Elements $e\tilde {g}_{31}e$ auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{3.ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($3.ON$, Primzahl 31, Block 2).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$1a$	3	$1$
$2a$	3	$(\zeta_{31})^{21}$
$2b$	3	$(\zeta_{31})^{24}$
$3a$	1	$(\zeta_{31})^{11}$
$3b$	1	$(\zeta_{31})^5$
$4a$	1	$(\zeta_{31})^7$
$4b$	4	$(\zeta_{31})^{12}$
$4c$	1	0
$4d$	1	$(\zeta_{31})^{19}$
$4e$	1	$(\zeta_{31})^6$
$4f$	4	$(\zeta_{31})^{18}$
$4g$	1	$(\zeta_{31})^{24}$
$5a$	1	$\zeta_{31}$
$5b$	1	$(\zeta_{31})^{11}$
$6a$	3	$(\zeta_{31})^{15}$
$7a$	1	$(\zeta_{31})^{29}$
$7b$	1	$(\zeta_{31})^{16}$
$7c$	1	$(\zeta_{31})^{25}$
$8a$	4	$(\zeta_{31})^{27}$
$8b$	3	$(\zeta_{31})^{14}$
$8c$	1	$(\zeta_{31})^{22}$
$8d$	3	$(\zeta_{31})^{28}$
$8e$	1	$(\zeta_{31})^{13}$
$8f$	4	$(\zeta_{31})^{22}$
$8g$	3	$(\zeta_{31})^{26}$
720

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(e\tilde{g}_{31}e)$
$9a$	3	$(\zeta_{31})^{13}$
$11a$	3	$(\zeta_{31})^8$
$11b$	3	$(\zeta_{31})^5$
$11c$	3	$(\zeta_{31})^{12}$
$11d$	1	$(\zeta_{31})^{18}$
$12a$	1	$(\zeta_{31})^{29}$
$12b$	2	$(\zeta_{31})^{19}$
$12c$	2	$(\zeta_{31})^{16}$
$12d$	2	$(\zeta_{31})^{20}$
$12e$	2	$(\zeta_{31})^{24}$
$13a$	1	$(\zeta_{31})^{27}$
$15a$	3	$(\zeta_{31})^{15}$
$15b$	3	$(\zeta_{31})^6$
$15c$	3	$(\zeta_{31})^6$
$15d$	3	$(\zeta_{31})^{28}$
$17a$	3	$(\zeta_{31})^{23}$
$19a$	2	$(\zeta_{31})^3$
$19b$	2	$(\zeta_{31})^7$
$19c$	2	$(\zeta_{31})^5$
740

Tabelle 3.46: Spurformel für $\tilde {g}_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $3.ON$, Primzahl 31, Block 2

$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(\tilde{g}_{31}h)$

$a_1$

$a_2$

$b_1$

$b_2$

$b_3$

$\varphi_{8}$

$\varphi_{9}$

$\varphi_{10}$

$\varphi_{11}$

$\varphi_{12}$

$\varphi_{13}$

$\varphi_{14}$

$\varphi_{15}$

8

9

13

14

15

$\zeta^{26}$

$\zeta^{13}$

0

$\zeta^{7}$

$\zeta^{26}$

$\zeta^{17}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{24}$

8

9

13

15

14

$\zeta^{18}$

$\zeta^{28}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{7}$

$\zeta^{26}$

$\zeta^{12}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{24}$

8

9

14

13

15

$\zeta^{26}$

$\zeta^{13}$

0

$\zeta^{7}$

$\zeta^{10}$

$\zeta^{17}$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{24}$

8

9

14

15

13

$\zeta^{16}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{29}$

$\zeta^{7}$

$\zeta^{10}$

$1$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{24}$

8

9

15

13

14

$\zeta^{18}$

$\zeta^{28}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{7}$

$\zeta^{12}$

$\zeta^{12}$

$\zeta^{2}$

$\zeta^{24}$

8

9

15

14

13

$\zeta^{16}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{29}$

$\zeta^{7}$

$\zeta^{12}$

$1$

$\zeta^{2}$

$\zeta^{24}$

9

8

13

14

15

$\zeta^{24}$

$\zeta^{2}$

$\zeta^{6}$

$\zeta^{24}$

$\zeta$

$\zeta^{25}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{7}$

9

8

13

15

14

$\zeta^{4}$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{24}$

$\zeta$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{22}$

$\zeta^{7}$

9

8

14

13

15

$\zeta^{24}$

$\zeta^{2}$

$\zeta^{6}$

$\zeta^{24}$

$\zeta^{14}$

$\zeta^{25}$

$\zeta^{28}$

$\zeta^{7}$

9

8

14

15

13

$\zeta^{19}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{25}$

$\zeta^{24}$

$\zeta^{14}$

$\zeta^{6}$

$\zeta^{28}$

$\zeta^{7}$

9

8

15

13

14

$\zeta^{4}$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{24}$

$\zeta^{13}$

$\zeta^{27}$

$\zeta^{13}$

$\zeta^{7}$

9

8

15

14

13

$\zeta^{19}$

$\zeta^{15}$

$\zeta^{25}$

$\zeta^{24}$

$\zeta^{13}$

$\zeta^{6}$

$\zeta^{13}$

$\zeta^{7}$

Sei $\zeta := \zeta_{31}$.

Vergleiche nun die verschiedenen, für die einzelnen Fälle berechneten, Spuren nach der Spurformel (2.3) für das Element $\tilde {g}_{31}$:

• Nach der Tabelle 3.44 kondensiert $\varphi_{14}$ zu einem Modul der Dimension 15, der nach Tabelle 3.43 in $(1_{J_1})^{3.ON}$ mit Vielfachheit drei vorkommt. Mit der Tabelle 3.45 folgt nun, daß $\operatorname{Trace}_{\varphi_{14}e}(e\tilde{g}_{31}e) \in \{(\zeta_{31})^{15}, (\zeta_{31})^6, (\zeta_{31})^{28}\}$. Dies ist nur bei vier verschiedenen Kandidaten der Fall.
• $\varphi_{13}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension elf, der in $(1_{J_1})^{3.ON}$ mit Vielfachheit drei vorkommt. Also gilt $\operatorname{Trace}_{\varphi_{13}e}(e\tilde{g}_{31}e) \in \{(\zeta_{31})^5, (\zeta_{31})^8, (\zeta_{31})^{12}\}$. Von den oben übrig gebliebenen vier Kandidaten erfüllt dies nur noch ein Kandidat. Dies ist der Kandidat mit $a_1=8$, $a_2=9$, $b_1=13$, $b_2=15$ und $b_3=14$.

Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.12 dargestellt.

Abbildung 3.12: Der Brauerbaum von $3.ON$, Primzahl 31, Block 2