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Grundlagen der Geometrie (WS 00/01)
Blatt 2

 Aufgabe 4. In der Übungsstunde vom 25. 10. 00 haben wir gesehen, dass bei einem Isomorphismus gamma = (alpha, beta) zwischen Inzidenzstrukturen, die die Axiome I1 und I2 erfüllen, die Bijektion beta schon durch die Bijektion alpha (auf den Punkten) gestgelegt ist (Eindeutigkeit von beta bei Isomorphismus gamma).
Wir fragen nun nach der Existenz einer Bijektion beta bei gegebener Bijektion alpha, welche Kollinearität von Punkten erhält. Zeigen Sie an Hand des folgenden Beispiels, dass die Antwort (sogar für affine Räume) negativ sein kann.
Beispiel: K sei der Körper mit zwei Elementen, L der Körper mit vier Elementen, also L = K[X]/(X^2 + X + 1)K[X], alpha = Restklasse von X, L = {0, 1, alpha, 1 + alpha}. A1 sei der affine Raum über dem 4-dimensionalen K-Vektorraum K1 × 4 und A2 der affine Raum über dem 2-dimensionalen L-Vektorraum L1 × 2. Untersuchen Sie die folgende Abbildung zwischen Punkten:
alpha = ( [a, b, c, d] arrow [a 1 + b alpha, c 1 + d alpha])
von A1 nach A2.

Aufgabe 5. Bestimmen Sie für einen (beliebigen) affinen Raum über einem Vektorraum V alle Translationen und alle Streckungen mit einem festen Zentrum Z.

Aufgabe 6. Stellen Sie fünf Fragen zur Vorlesung und Übung. (Beispiel: Warum steht im Veblen-Young-Axiom auch in der Behauptung "nicht windschief" und nicht spezieller "kopunktal"?)

Abgabe:Montag, 30. Oktober 2000.

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