Aufgabe 16. (Duale Inzidenzstruktur)
Zu einer projektiven Ebene E = (P, G, I) bilden wir die duale
Inzidenzstruktur E* = (G, P, I-1). Ist auch
E*
eine projektive Ebene?
Aufgabe 17. (Entartungen der projektiven Desargues-Aussage)
Untersuchen Sie die Frage der Gültigkeit in projektiven Räumen von zu (pD) analogen Aussagen über "entartete" Paare von geordneten Dreiecken [wo also entsprechende Punkte oder Seiten zusammenfallen dürfen].
Aufgabe 18 (Allgemeine affine Form der projektiven Desargues-Aussage)
a) Formulieren Sie eine Aussage (pD affin) für affine Räume,
die der Aussage (pD) für projektive Räume entspricht in dem Sinne,
daß die zehn relevanten Punkte im affinen Raum als existent vorausgesetzt
werden.
b) Für den Nachweis von (pD) für die projektiven Räume P(V) fanden wir
einen sehr übersichtlichen kurzen Beweis.
Beweisen Sie nun (pD affin) für die affinen Räume A(V)
für K-Linksvektorräume V über Schiefkörpern K mit
den Mitteln der
Analytischen Geometrie affiner Räume A(V), also ohne Rückführung auf (pD)
für P(W) für einen Vektorraum W > V mit
dim W = 1 + dim V.
Bei evtl. zu komplizierten Rechenausdrücken können Sie Maple benutzen
(was allerdings die Kommutativität der Variablen voraussetzt).
Abgabe: Montag, 11.12.2000.