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LDfM
RWTH Aachen






Zahlen, SS 2005
Ulrich Schoenwaelder

Aufgaben

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Blatt 5, Abgabe Fr 17.06.05, mit Aufgabe 7


Blatt 4, Abgabe Fr 27.05.05, mit Aufgabe 6


Blatt 3, Abgabe Mi 11.05.05, mit Aufgaben 4 und 5


Blatt 2, Abgabe Fr 06.05.05 in der Vorlesung

Aufgabe 3. Wir betrachten Größen a, b eines archimedischen Größenbereichs (G, <, +). Was soll man unter dem Verhältnis a : b verstehen?
Naheliegend ist ein Vergleich von a und b nach folgender Methode (Wechselwegnahme, Euklidischer Algorithmus):

EA. Wir nehmen b so oft von a weg, wie es geht, etwa q0 mal, bis also der Rest r1 < b ist (Division mit Rest); in Formeln
    a = q0b + r1 für ein wohlbestimmtes q0 in N0 und r1 in G mit 0 ≤ r1 < b.
Wenn b in a nicht aufgeht, also ein Rest r1 < b bleibt, verfahren wir mit (b, r1) genauso wie vorher mit (a, b) und erhalten so einen "Quotienten" q1 in N und "Rest" r2 in G.
Usw.

Definition. Dies ergibt eine Folge q = (q0, q1, ...) von Quotienten, die abbrechen kann, aber nicht abbrechen muss. Es ist naheliegend, diese Folge q als das Verhältnis a : b zu definieren. Für ein Paar (a', b') von Größen eines weiteren Größenbereichs G' gilt dann
    a : b = a' : b' genau dann, wenn sich für beide Paare dieselbe Folge von Quotienten ergibt.

Analyse.
  1. Für G = N (natürliche Zahlen) bricht die Folge der Quotienten ab.
  2. Wenn die Folge der Quotienten abbricht, ist der letzte Rest e ≠ 0 ein gemeinsames Maß für a und b in dem Sinne, dass natürliche Zahlen λ und μ existieren mit
       a = λ e und b = μ e.
    Damit ist dem Paar (a, b) von Größen das Paar (λ, μ) natürlicher Zahlen zugeordnet, ein sogenannter "Bruch" λ//μ. (Wir verwenden zwei Striche, um den "formalen" Bruch von der später einzuführenden Bruchzahl -- mit nur einem Strich -- unterscheiden zu können.)
    Es folgt μ a = λ b für diese natürlichen Zahlen λ und μ.
  3. Welche Fragen ergeben sich jetzt hinsichtlich dieser Zuordnung (mit Blick auf eine mögliche Definition rationaler Zahlen und deren Beziehung zu Verhätnissen)? Stellen Sie ein "Forschungsprogramm" auf!
  4. Treten Sie in Ihr Programm ein!

Blatt 1, Abgabe Fr 22.04.05 in der Vorlesung, verlängert bis Fr 29.04.05

Aufgabe 1. Beenden Sie den Beweis des Satzes über die Definition durch Induktion.

Aufgabe 2. Wir definieren die Addition, Multiplikation und die Kleiner-Relation in einer Peano-Algebra N (mit Nachfolger-Operation σ und Anfangselement 1) rekursiv (für n in N) wie folgt:
Addition: Für alle m in N: m + 1 = mσ und m + nσ = (m + n)σ.
Multiplikation: Für alle m in N: m . 1 = m und m . nσ = m . n + m.
Kleiner-Relation: m < n, wenn p in N existiert mit d. E. m + p = n. [Man schreibt dann n - m = p.]

Beweisen Sie:
  1. 3 . 2 = 6.
  2. [Kürzungsregel für die Addition] Aus a + n = b + n folgt a = b.
  3. [Assoziativgesetz für die Addition] (m + n) + p = m + (m + p).
  4. [Kommutativgesetz für die Addition] m + p = p + m.
  5. [Totalordnung] Die Kleiner-Relation ist eine Totalordnung auf N.
    [Trichotomie (es gilt genau eine der Aussagen m = n, m < n, n < m) und Transitivität (aus m < n, n < p folgt m < p)]
  6. m + p ≠ m.


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