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Zahlen (SS 2005)

http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder

INHALT

1. Peano-Axiome und Folgerungen für N.
   • Leon W. Cohen - Gertrude Ehrlich, The Structure of the Real Number System, New York: Van Nostrand Reinhold Company, 1963.
   • Weitere Literatur in meinem Verzeichnis
     Literatur zur Fachdidaktik unter Natürliche Zahlen.
   
   
2. Rationale Zahlen als Dezimalbrüche.
   • Niedersächsisches Kultusministerium (Hg.), Neue Technologien und Allgemeinbildung: Mathematik; Anregungen für den Unterricht, Hannover: Berenberg, 1990. ISBN 3-88990-010-0. S. 177--199: Kap. 2.9 Probieren, Entdecken, Forschen -- am Beispiel periodischer Dezimalbrüche.
   • F. Padberg, Didaktik der elementaren Zahlentheorie, smd, Herder, ²1991. ISBN 3-411-76392-2. MB: 15714. S. 114--135: VIII: Systembrüche.
   • Weitere Literatur in meinem Verzeichnis Literatur zur Algebra unter Elementare Zahlentheorie/Dezimalbrüche.
   
   
3. Einführung der Bruchzahlen.
   
   Bruchzahlen in der Grundschule.
   • Lisa Hefendehl-Hebeker, Von realen zu gedachten Welten -- mathematische Werkzeuge im Unterricht, S. 83--94 in:
     Helmut Altenberger (Hg.), Fachdidaktik in Forschung und Lehre, Augsburg: Dr. Bernd Wißner, 1997. ISBN 3-89639-082-1. HBZ.
   
   Bruchzahlen via Handlungen und deren Protokollen (Operatoren und Proportionen).
   • Willi Dörfler, Emergenz von Brüchen und rationalen Zahlen aus einem Handlungssystem, Journal für Mathematik-Didaktik 23:2 (2002), 87--105. HB: Z5899-23.
   • Willi Dörfler, Brüche als symbolische Beschreibungen von Schülerhandlungen - ein Rahmen für eine Lernsequenz, Der Mathematikunterricht 50:3 (2004), 36--44. [Per US; denn die HB hat diese Zeitschrift ab 2004 abbestellt!]
   
   Bruchzahlen als Operatoren.
   • Leen Streefland, Fractions in Realistic Mathematics Education -- A Paradigm of Developmental Research, Mathematics Education Library 8, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. ISBN 0-7923-1282-1. HBZ (Bielefeld).
     S. 326--342: Sketch of a new course.
   
   Weitere Literatur in meinem Verzeichnis
   Literatur zur Fachdidaktik unter Brüche und Bruchzahlen.
   
   
4. Analyse des XEA (Erw. Eukl. Algor.).
   • S. 226--227: Exercises, Section 2, No. 2 (G. E. Collins) in:
     John D. Lipson, Elements of Algebra and Algebraic Computing, Reading, MA: Addison-Wesley, 1981. MB: 11267.
   • M. Neubrand, Kettenbrüche: Beste Näherungen, transzendente Zahlen, Der Mathematikunterricht 30:5 (1984), 30--47. HB: Z5577-30. Chr. Huygens' Planetarium, Ultra-Approximation.
   • Chr. Huygens, Le Planétaire de 1682, S. 165--184 in: Œvres Complètes de Christiaan Huygens, Bd. 21: Cosmologie, Société Hollandaise des Sciences, 1944. HB: Ba206-21+1.
   
   
5. Negative (ganze, rationale) Zahlen.
   Orientierte Längen- und Flächenmaße.
   • E. Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie und Algebra. 1. Teil, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher 1, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, ⁴1959. HB: Bd1110-1+4. Vierter Abschnitt. (4. Diskursebene, LA I)
   • U. Schoenwaelder, Die fünf Diskursebenen: vom inhaltlichen zum formalen mathematischen Denken und zurück, Mathematische Semesterberichte 52 (2005), 39--62. Abschn. 5. (4. Diskursebene, LA I)
   • Daniel Perrin, Eine Ergänzung zum Bericht über Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen Geometrie im Collège, Mathematische Semesterberichte 48 (2002), 211--245. (3. Diskursebene, Elementargeometrie)
   
   Rechenregeln.
   • M. Wagenschein - E. Schuberth - P. Buck, Minus mal Minus, Forum Pädagogik 2 (1988), 56--61. ISSN 0933-9922. HBZ.
   • L. Hefendehl-Hebeker, Unstetigkeiten im Lehrprozeß - oder: "Das muß man doch auch noch anders erklären können", Der Mathematikunterricht 34 (1988), 4--18. HB: Z5577-34.
   • L. Hefendehl-Hebeker, Die Einführung der negativen Zahlen als unterrichtliches Problem, Beiträge zum Mathematikunterricht 1989, 183--186. HB: Bb1256-1989.
   
   Begriffsbildung.
   • H. Winter, Über die Entfaltung begrifflichen Denkens im Mathematikunterricht, Journal für Mathematik-Didaktik 4:3 (1983), 175--204.
     Vier Stufen der Begriffsbildung (S. 182):
     1. Auseinandersetzung mit Phänomenen (deskriptiv-operationelles, d. h. gebrauchsmäßiges Vorverständnis);
     2. Simulative (schematisierende) Rekonstruktion des Phänomenbereichs, Aufbau von Handlungssystemen (operativ-instrumentelles Verständnis);
     3. Systematische Einordnung in das vorhandene Wissen und Entwicklung von Theoriestücken (systematisch-theoretisches Verständnis);
     4. Transfer auf weitere Phänomene, .. (kritisch-reflexives Verständnis).
     Sechs Arten der Begriffsbestimmung (S. 187):
     1. exemplarische,
     2. konstruktive,
     3. abstraktive,
     4. ideative,
     5. explizit-definitorische,
     6. implizit-axiomatische Begriffsbestimmung.


6. Reelle Zahlen.
   
   Axiomatik.
   • L. W. Cohen and G. Ehrlich, The Structure of the Real Number System, D. van Nostrand, 1963.
   • S. Feferman, The Number Systems. Foundations of Algebra and Analysis, Addison-Wesley, 1964: MB: 2919.
   • Hans-Günther Bigalke, Eine ordnungstheoretische Charakterisierung der Zahlenmengen N, Z, Q und R, Der Mathematikunterricht 20:6 (Reelle Zahlen II) (1974), 58--62. HB: Z5577-20.
   
   Konstruktion via Dedekindscher Schnitte.
   • Aries Koch, Präzisierung des Integralbegriffs und Grundzüge der Konstruktion der reelen Zahlen, Der Mathematikunterricht 15:4 (1969), 5--43. HB: Z5577-15.
   • Helmut Knabe, Zur Erweiterung von Q zu R, Der Mathematikunterricht 15:4 (1969), 44--49. HB: Z5577-15.
   • Wilhelm Krücken, Methodisch-didaktische Überlegungen zur Einführung der reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 20:6 (1974), 39--57. "Anfänge".
   • Richard Dedekind,
     a) Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1872, ⁶1950. HB: Bf1485-11+6.
     b) Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig, 1888, ⁸1960. HB: Be159+8; MB: 4580.
   • H.--D. Ebbinghaus and H. Hermes and F. Hirzebruch and M. Koecher and K. Mainzer and J. Neukirch and A. Prestel and R. Remmert, Zahlen, Springer-Verlag, 1983, ²1988. HB: BB1561-1+1, BB1561-1+2; MB: 12139, 12165, 14614.
   • Helmut Coers, Die Kowalewskische Einführung der reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 19:3 (1973), 70--82. Objekte: ordnungstheoretische "Anfänge"; Operationen durch stetige Fortsetzung auf Grenzwerte.
   
   Konstruktion via Cauchy-Folgen.
   • B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, ⁸1971 usw. § 78.
   • Heinz Liermann, Einführung der reellen Zahlen als Anwendung von Strukturierungsproblemen, Der Mathematikunterricht 15:4 (1969), 50--61. HB: Z5577-15.
   • Herbert Meschkowski, Einführung in die moderne Mathematik, BI-Hochschultaschenbücher 75, Bibl. Inst., ²1966. MB: 4411, 20508. Konstruktion via Cauchy-Filter.
   • S. Lang, Algebraic Structures, Reading, MA: Addison-Wesley, 1967. ISBN 0-201-04173-1. HB: BF5553.
     Algebraische Strukturen, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung 18, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1979. ISBN 3-525-40542-1. HB: BB1126-18+1.
   
   Konstruktion via Intervallschachtelungen.
   • K. Denecke and K. Todorov, Algebraische Grundlagen der Arithmetik, Berliner Studienreihe zur Mathematik 4, Berlin: Heldermann Verlag, 1994. ISBN 3-88538-104-4. MB: 17179.
   • H.-D. Ebbinghaus et al., Zahlen, wie unter "Dedekindsche Schnitte".
   
   Konstruktion via Dezimaldarstellung.
   • Wolfgang Rautenberg,
     a) Ein kurzer und direkter Weg von den natürlichen zu den reellen Zahlen mit anschließender Begründung der Bruchrechnung, Mathematik in der Schule 7 (1969), 409--425. HB: Z5724-7.
     b) Reelle Zahlen in elementarer Darstelllung, Klett Studienbücher, Stuttgart: Ernst Klett, 1979. ISBN 3 -12-983320-X. HB: Bf7216.
     Operationen: Definition (über obere Grenzen) und schnelles Rechnen (via Dezimalziffernfolgen) getrennt.
   • H. Wunderling, Reelle Zahlen, Der Mathematikunterricht 19:3 (1973), 27--66. HB: Z5577-19. "Riesenschlangen", explizites (kompliziertes) Rechnen mit Dezimalziffernfolgen.
   • A. Kirsch, Die Bedeutung des Gruppenbegriffs für den Mathematikunterricht, S. 215--227 in:
     Heinz Schröder, Der Mathematikunterricht im Gymnasium, Ergebnisse aus der Arbeit der Lehrerfortbildung 5/7, Schroedel, 1966. HBZ. Keine strenge Durchführung.
   • G. Holland, Dezimalbrüche und reelle Zahlen, Der Mathematikunterricht 19:3 (1973), 5--26. HB: Z5577-19. Objekte und Operationen via Dezimalschachtelungen. Symbolische Darstellung durch Dezimalziffernfolgen. Rechnung: Addition und Multiplikation von links.
     [Kommentar bei Vollrath, Algebra in der Sekundarstufe, Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik, BI, 1994, HB: Kb5084-32, S. 64: zu aufwändig für Schulunterricht.]
   • W. Felscher, Naive Mengen und abstrakte Zahlen, Band II: Die Struktur der algebraischen und der reellen Zahlen, vieweg studium, Vieweg, 1978. ISBN 3-411-01552-7. HB: BB1413-2+1; MB: 9656b.
   
   Einführung über das Messen.
   • H. Winter, Bemerkungen zur Einführung der reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 20:6 (Reelle Zahlen II) (1974), 7--38. HB: Z5577-20. S. 29: Ideen.
   • E. Wittmann, Approximation als verbindendes Element der Analysis, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte 19:2 (1972), xxx.
   
   Konstruierbare Zahlen.
   • Ian Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973. Ch. V: Ruler and Compasses (57--67).
   
   Didaktische Würdigung.
   • H. Winter, Bemerkungen zur Einführung der reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 20:6 (Reelle Zahlen II) (1974), 7--38. HB: Z5577-20. S. 18-19: Pro und Contra.
   
   Zu weiteren Quellen siehe mein Literaturverzeichnis unter Literatur zur Algebra > Zahlen > Reelle Zahlen.


7. Unendlich kleine und unendlich große Zahlen.
   
   Übersichtstexte.
   • P. J. Davis -- R. Hersh, Erfahrung Mathematik, Birkhäuser, 1981. MB: 13068. S. 246 ff: Nichtstandardanalysis.
   • B. Artmann, Der Zahlbegriff, Moderne Mathematik in elementarer Darstellung 19, Vandenhoeck & Ruprecht, 1983. HB: Bb1126-19. Mit historischen Hinweisen.
   • J. W. Dauben, Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis. A Personal and Mathematical Odyssey, Princeton Univ. Press, 1995. MB: 18650. Biography of Abraham Robinson.
   • C. H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Berlin: Springer, 1979. MB: 10658.
   • W. S. Hatcher, Calculus is Algebra, Amer. Math. Monthly 89:6 (1982), 362--370. MB: Z 42.
   • M. Kronfellner, Historische Aspekte im Mathematikunterricht: eine didaktische Analyse mit unterrichtssprezifischen/unterrichtspraktischen Beispielen, Schriftenreiche Didaktik der Mathematik 24, Hölder-Pichler-Tempsky, 1998. HB: Ka7590-24.
     Kap. 12: Verschiedene Möglichkeiten der Berücksichtigung der historischen Entwicklung (12.4 Nonstandard Analysis - "Zeitgeschichte der Mathematik").
   • A. H. Lightstone, Infinitesimals and integration, Mathematics Magazine 46 (1973), 20-30. MB: Z 167. Sehr empfehlenswert.
   • H. Wunderling (Hrsg.), Infinitesimalmathematik, Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), Seelze: Friedrich. HB: Z5577-43.
     Mit Artikeln von D. Laugwitz (Zur historischen Entwicklung der Infinitesimalmathematik), C. Utecht (Einführung der Integralrechnung über die Infinitesimalanalysis), P. Baumann (Einführung in die Analysis über hyperreellen Zahlen), T. Kirski, B. Steinig.
   
   Historische Texte und deren moderne Interpretationen.
   • A. L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, Paris: Impr. Royale, 1821.
     Abgedruckt in Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy / publ. sous la dir. scientifique de l'acad. des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'instruction publique, Paris: Gauthier-Villars, 1885. HBZ.
   • A. L. Cauchy, Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal, Paris: Impr. Royale, 1823. HB: Be29 (Lesesaal).
     Abgedruckt in Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy, Paris: Gauthier-Villars, 1885. HBZ.
   • D. Laugwitz, Infinitely small quantities in Cauchy's textbooks, Historia math. 14 (1987), 258--274. MB: Z 171.
   • D. Laugwitz, Cauchy-Zahlen als Grundlage der Infinitesimalmathematik, Mathematische Semesterberichte 38 (1991), 175--213. HB: Z1538-38 ZNT.
   • A. Robinson, Non-Standard Analysis, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, 1966, ²1970, Revised 1974. MB: 6878; HB: Bf6485-2.
     Historisch das moderne grundlegende Werk. Ch. X: Zur Geschichte des Infinitesimalen.
   
   Hyperreelle Zahlen (Theorie).
   • C. C. Chang -- H. J. Keisler, Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 73, Amsterdam: North Holland, 1973, ³1990. HB: Bb1374-73+3.
   • H. J. Keisler, Foundations of Infinitesimal Calculus, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1976. IB. Für den Lehrer.
   • A. E. Hurd -- P. A. Loeb, An Introduction to Nonstandard Analysis, Pure and Applied Mathematics 118, Academic Press, 1985. MB: 12966.
   • J. M. Henle -- E. M. Kleinberg, Infinitesimal Calculus, MIT Press, 1979. MB: 10322. Mit Schulkenntnissen lesbar!
   • N. Cutland, Nonstandard Analysis and its Applications, LMS Student Texts 10, Cambridge Univ. Press, 1988, MB: 14358.
   • M. Davis, Applied Nonstandard Analysis, Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons, 1977. MB: 9254. Gute Einführung.
   • F. Diener and M. Diener, Nonstandard Analysis in Practice, Berlin: Springer, 1995. ISBN 3-540-60297-6. MB: 17759. HB: BF9623.
   • V. Gautheron -- E. Isambert, Lire l'analyse non standard, S. 29--49 in:
     J. Mawhin, Non Standard Analysis, Bulletin of the Belgian Mathematical Society, Supplement July 1996, BMS, 1996. MB: 18175.
   • Robert Goldblatt, Lectures on the Hyperreals - An Introduction to Nonstandard Analysis, Graduate Textx in Mathematics 188, Springer, 1998. ISBN 0-387-98464-X. MB: 18575. Sehr gut brauchbar mit historischer Einführung. Wählt die Ultraprodukt-Konstruktion.
   • D. Landers -- L. Rogge, Nichtstandard-Analysis, Springer-Lehrbuch, Springer, 1994. MB: 17181; HB: Bf9504.
     Umfassende und leicht verständliche Einführung mit der Konstruktion über Ultrafilter.
   • D. Laugwitz, Zahlen und Kontinuum: Eine Einführung in die Infinitesimalmathematik, Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik 5, Wiss. Buchges. Darmstadt, BI, 1986. MB: 13209; HB: Bf7905.
     Einführung in die Nonstandard-Analysis durch Adjunktion eines idealen Elementes für Lehrer mit vielen historischen und philosophischen Bemerkungen.
   • A. Robert, Nonstandard Analysis, Wiley, 1988. MB: 14250; Bf9063. Mit Nelsons axiomatischem Aufbau (IST).
   • J. Barkley Rosser, Logic for Mathematicians, New York: Chelsea Publishing Co., ²1978. HB: Bb1462-2. Appendix D: Nonstandard Analysis; viele Bemerkungen.
   
   Hyperreelle Zahlen (im Unterricht).
   • H. J. Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1976. Lst. II f. Math. Für den Schüler.
   • F. Wattenberg, Unterricht im Infinitesimalkalkül: Erfahrungen aus den USA, Der Mathematikunterricht 29:4 (1983), 7--36. HB: Z5577-29.
   • W. Schnitzspan, Nichtstandard-Analysis in der Schule, Der Mathematikunterricht 29:4 (1983), 37--59. HB: Z5577-29.
   • G. Neuheuser, Die Infinitesimalmathematik -- Eine transparente Alternative zur heutigen Schulanalysis, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (MNU) 40:2 (1987), 67--75. HB: Z848-40.
   • P. Baumann -- B. Steinig -- H. Wunderling,
     a) Hyperreelle Zahlen, Mathematik betrifft uns, x:2 (1995). HBZ.
     b) Differentialrechnung mit hyperreellen Zahlen, Mathematik betrifft uns, x:4 (1996). HBZ.
   • P. Baumann, Einführung in die Analysis über hyperreellen Zahlen. -- Ein Erfahrungsbericht, Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 33--46. HB: Z5577-43.
   37--59. HB: Z5577-29.
   • H. Wunderling, Über den Gebrauch infiniter Vergrößerungen in der Analysis, Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 55--61. HB: Z5577-43.
   • H. Wunderling, Schüler finden Differentiationsregeln selbst, Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 62--68. HB: Z5577-43.
   
   Geschichte der Infinitesimalmathematik.
   • W. S. Anglin -- J. Lambek, The Heritage of Thales, UTM Readings in Mathematics, Springer, 1995. MB: 17671. Kap. 29: Leibniz.
   • E. Hairer -- G. Wanner, Analysis by Its History, UTM Readings in Mathematics, Springer, 1996. MB: 17751. Kap. II: Differential and Integral Calculus.
   
   Zu weiteren Quellen siehe mein Literaturverzeichnis unter Literatur zu Grundlagen der Mathematik > Hyperreelle Zahlen und Nonstandard-Analysis.