Phd thesis of Max Neunhöffer

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Abstract

(This abstract is also available as ASCII file.)

This thesis deals with a conjecture by Gordon James from 1990 and a variant by Meinolf Geck about decomposition maps of the generic Iwahori-Hecke algebra H of the symmetric group on n points arising from specialization to characteristic l>0. If the parameter of the algebra is specialized to an element q of GF(l) with multiplicative order e, the conjecture states, that, for el>n, the decomposition map does not depend on l and q, but only on e.

The main result of the present work is the following reformulation of the James-Geck conjecture: For el>n every primitive idempotent in the extension of scalars AH is primitive as idempotent in the algebra A'H, where A and A' are rings of characteristic 0 (which are explicitly constructed for l and q), such that A is contained in A' and therefore AH in A'H. Thus an equivalent statement is given, which contains only rings and algebras of characteristic 0. To prove equivalence, generalizations of the well-known methods of lifting of idempotents and of Brauer reciprocity are developed.

In addition results and observations are presented, that might lead to an approach to a proof of the above mentioned reformulation. A method is presented, how one can derive explicit formulae for primitive idempotents in non-semi-simple symmetric algebras using matrix representations on projective indecomposable modules. Such matrix representations seem to arise naturally from the Kazhdan-Lusztig cell modules.

Another possible attack for a proof stems from another result of the present thesis, an explicit construction of a Wedderburn decomposition for H using the Kazhdan-Lusztig basis.

Kurzfassung:

(Diese Kurzfassung ist auch als ASCII-Datei verfügbar.)

Diese Arbeit beschäftigt sich mit einer Vermutung von Gordon James aus dem Jahr 1990 und einer Variante von Meinolf Geck über Zerlegungsabbildungen der generischen Iwahori-Hecke-Algebra H zur symmetrischen Gruppe auf n Punkten bei Spezialisierung nach Charakteristik l>0. Wird der Parameter der Algebra auf ein Element q in GF(l) der multiplikativen Ordnung e spezialisiert, so besagt die Vermutung, dass für el>n die Zerlegungsabbildung nicht von l und q abhängt, sondern nur von e.

Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist die folgende Umformulierung der James-Geck-Vermutung: Ist el>n, so ist jedes primitive Idempotent der Konstantenerweiterung AH auch als Idempotent in der Algebra A'H primitiv, wobei A und A' (explizit zu l und q konstruierte) Ringe der Charakteristik 0 sind, so dass A in A' und damit auch AH in A'H enthalten ist. Es wird also eine äquivalente Aussage angegeben, die nur Ringe und Algebren der Charakteristik 0 enthält. Zum Beweis der Äquivalenz werden Verallgemeinerungen der bekannten Methoden des Hebens von Idempotenten und der Brauer-Reziprozität entwickelt.

Zusätzlich werden Ergebnisse und Beobachtungen beschrieben, die einen Ansatz zum Beweis der oben genannten Umformulierung liefern könnten. So wird eine Methode angegeben, wie aus Matrixdarstellungen auf projektiv unzerlegbaren Moduln explizite Formeln für primitive Idempotente in nicht-halbeinfachen symmetrischen Algebren gewonnen werden können. Solche Matrixdarstellungen scheinen in natürlicher Weise bei den Kazhdan-Lusztig-Zellmoduln aufzutreten.

Einen anderen möglichen Ansatzpunkt zum Beweis liefert ein weiteres Ergebnis der vorliegenden Arbeit, eine explizite Konstruktion einer Wedderburn-Zerlegung für H aus der Kazhdan-Lusztig-Basis.