Konstruktion aus 45-dimensionaler Darstellung

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler $FG$-Modul mit Basis $\{v_i\}$. Die Abbildung

$$*:V\otimes V\to V\otimes V: v_i\otimes v_j\mapsto v_j\otimes v_i$$

definiert eine $F$-lineare Abbildung. Der Teilmodul

$$(V\otimes V)_A := \{ w\in V\otimes V\mid w = - w*\}$$

heißt antisymmetrischer Teilmodul von $V\otimes V$ (siehe z.B.[Isa76, Theorem (4.5)]). Eine $F$-Basis von $(V\otimes V)_A\glossary{$(V\otimes V)_A$>antisymmetrischer Teilmodul}$ ist

$$\{w_{ij} := v_i\otimes v_j - v_j\otimes v_i \mid 1\leq i<j\leq n\}.$$

Insbesondere ist $\dim_F((V\otimes V)_A) = \frac{n(n-1)}2$.

Mit GAP kann man nachrechnen, daß der antisymmetrische Teilmodul des Tensorprodukts der 45-dimensionalen Darstellung mit sich selbst, eingeschränkt auf $L_3(7):2$, den trivialen Modul als Kompositionsfaktor enthält. Nun kann man einen Vektor $v$ finden, der unter der Operation von $L_3(7):2$ fest bleibt, d.h. $L_3(7):2 = \operatorname{Stab}_{3.ON}(v)$. Aufspinnen des Fixvektors $v$ liefert die Permutationsdarstellung von $3.ON$ auf den Nebenklassen nach $L_3(7):2$.

In 3on.1 und 3on.2 seien die Standarderzeuger der ,,zweiten`` 45-dimensionalen Darstellung von $3.ON$ über $GF(7)$ gegeben (Standarderzeuger der Darstellung aus [WWT$^$] entsprechen bei meiner Wahl von Restklassenvertretern in $3.ON$ dem zweiten 45-dimensionalen Charakter in der GAP-Charaktertafel von $3.ON$ über $GF(7)$). Zunächt wird der antisymmetrische Teil erstellt:

Der antisymmetrische Teil wird auf die Untergruppe $L_3(7):2$ eingeschränkt. Dies liefert die Erzeuger L37.2b.1 und L37.2b.2 (das Skript 3ON-L372b, das aus Erzeugern von $3.ON$ Erzeuger von $L_3(7):2$ berechnet ist unten aufgelistet):

Nun werden die Fixvektoren $x$ unter der Operation von $L_3(7):2$ bestimmt, Vektoren $x \in \operatorname{Null}(\texttt{L37.2b.1}-\operatorname{id}) \cap \operatorname{Null}(\texttt{L37.2b.2}-\operatorname{id})$:

Tatsächlich erhält man einen eindimensionalen Nullraum, gibt einen Fixvektor v, der nun aufgespinnt wird:

In p.1 und p.2 steht nun die Operation der Standarderzeuger von $3.ON$ auf den Nebenklassen von $L_3(7):2$.