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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 14.12.2000 (HR)

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Thema: Globaler Zugang zum Problemzusammenhang "Mittelpunkt beim Dreieck".


Im folgenden wird immer eine affine Ebene mit (F) und (D) als gegeben angenommen.


Satz 1: Gegeben: Eine affine Ebene mit (F) und (D) sowie das Dreieck {A, B, C}.
Behauptung: Die Seitenhalbierenden des Dreiecks {A, B, C} schneiden sich in einem Punkt oder sind parallel.
Beweis: Zeichne Parallelen zu den Dreiecksseiten durch den jeweiliden Eckpunkt. Die so erhaltenen Geraden schneiden sich in den Punkten A|| (gegenüber von A), B|| bzw. C||. Durch diese zu den Dreiecksseiten parallelen Geraden werden die Mittelpunkte der entsprechenden Seiten definiert:

A| := Mp(B, C) = BC ^ AA|| in unserem Parallelogramm
- wir haben unseren Mittelpunktsbegriff über ein Parallelogramm eingeführt - ,


B| := Mp(A, C) = AC ^ BB|| in unserem Parallelogramm ,
C| := Mp(A, B) = AB ^ CC|| in unserem Parallelogramm .
In der unten folgenden Skizze erkennen wir: (A ,B, C) und (A||, B||, C||) haben parallele Paare entsprechender Seiten. Nach (d, D)-1 sind die Verbindungsgeraden AA||, BB|| und CC|| parallel oder kopunktal.
Skizze:



Können die Seitenhalbierenden parallel sein?


Satz 2: Behauptung: In A(K2), K Schiefkörper mit 2 ¹ Char(K) ¹ 3 sind die Seitenhalbierenden eines Dreiecks kopunktal.
Beweis:
Wähle U als unseren "Ursprung" (das heißt, setze , usw.).
Wir setzen weiter: .
Wir definieren S durch .

Dann liegt S auf der Seitenhalbierenden
= a +
= a +
= {a + l . (1/2 . (b + c) - a) | l Î K}.
l = 2/3 zeigt: s Î AA| und S I AA|.
In A(K2) über Schiefkörper der Charakteristik 3 (z.B. K = Z3) sind die Seitenhalbierenden nicht kopunktal. Über Z3 zum Beispiel sind die Seitenhalbierenden parallel.

Skizze:
Die drei roten Punkte sind unser Dreieck. Dann sind unsere grünen Geraden die Seitenhalbierenden, die parallel zueinander liegen.



Zu Satz 1: Damit ist die Behauptung von Satz 1 abschließend diskutiert.



Satz 3: a) In affinen Ebenen mit (F) und (D) ist die Verbindung zweier Seitenmittelpunkte eines Dreiecks parallel zur dritten Dreiecksseite.
Beweis: Die geordneten Dreiecke (A|, B, C|) und (A, C, B||) sind zentral mit Zentrum S. Nach Konstruktion sind zwei Paare entspechender Seiten parallel, hier: A|B || AB|| und C|B || CB||. Mit (D) folgt dann: A|C| || AC.
Skizze:



Satz 3: b) Nun seien die Seitenhalbierenden "unseres" Dreiecks parallel. Dann gilt die entsprechende Aussage (mit (d)).
Beweis: Selbst.



Folgerung 1: ("Mittellinie" eines Parallelogramms)
Ist
ein Parallelogramm in einer affinen Ebene mit (F) und (D), so bilden wir die Mittellinie parallel zu einer Seite (etwa AB) durch den Diagonalpunkt M. Sie schneidet die anderen Parallelogrammseiten in "deren" Mittelpunkten.
Skizze:
Beweis: In der obigen Skizze wält man das Dreieck (A, B, D) und wendet hierauf Satz 3 an.


Folgerung 2: In einem Tetragon in einer affinen Ebene mit (F), (D) bilden die vier Seitenmittelpunkte ein Parallelogramm.
Skizze:
Beweis: Wir betrachten das Dreieck (A, B, C). Nach Satz 3 ist A|B| || AC. Analog gilt: D|C| || AC. Also A|B| || C|D|. Analog folgt: B|C| || D|A|. Damit bilden die Seitenmittelpunkte ein Parallelogramm.


Werden Mittelpunkte in affinen Ebenen unter Parallelprojektion auf Mittelpunkte abgebildet?




Skizze:
Gegeben: Drei Geraden g, h und r, von denen keine zwei parallel sind. Auf der Geraden g sind drei Punkte A, B und M so gegeben, daß M Mittelpunkt von {A, B} ist.
Ist dann auch M| Mittelpunkt von {A|, B|}?

Wir bezeichnen den Mittelpunkt von {A|, B|} mit M||.


Unsere Frage lautet nun: Ist M|| = M|?



Da unser Mittelpunktsbegriff mit Hilfe von Parallelogrammen definiert wurde, führen wir das Trapez auf ein Parallelogramm zurück, indem wir durch A die Parallele zur Geraden h konstruieren.





Wir erhalten hierdurch das Parallelogramm .
Wir bilden nun den Diagonalpunkt M||| und die Parallele m zu r durch M|||. Nach Folgerung 2 trifft m die Parallelogrammseiten AC und A|B| in deren Mittelpunkte D bzw. M||. Nun betrachten wir das Dreieck (A, B, C), um unser M| zu erhalten. Da m || BC ist und durch den Mittelpunkt D von (A, C) geht, trifft m die Seite (A, B) ebenfalls in deren Mittelpunkt M (nach Satz 3).


Skizze:


Damit gilt M| = M||.


Satz 3: In affinen Ebenen mit (F) und (D) werden Mittelpunkte unter Parallelprojektionen respektiert.

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