Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Frage: Wie kann ein Zweieck
in gleichmäßige Teile unterteilt werden?
Definition: Gegeben sei ein affiner Raum mit (F) und (D).
Eine gleichmäßige Unterteilung eines Zweiecks in
Teile ist eine Folge
von Punkten, so dass der Mittelpunkt von
ist für
.
Warnung! Es ist möglich, dass nicht alle verschieden sind!
Beispiele: über Körpern endlicher Charakteristik.
Satz: Gegeben sei ein Dreieck
mit
Schwerpunkt (d. h. die Seitenhalbierenden sind nicht parallel). Es
sei
,
und
.
Dann hat das Zweieck
eine gleichmäßige Unterteilung in drei Teile, in der der
Schwerpunkt vorkommt.
Beweis:
Dazu betrachtet man die Parallelprojektion von auf
in Richtung . Dabei geht der Mittelpunkt von
auf den Mittelpunkt von
(vgl. Satz 3 der letzten Vorlesung). Zu zeigen ist, dass
eine gleichmäßige Unterteilung von
in drei
Teile ist.
Nach Konstruktion ist der Mittelpunkt von , also muss
noch gezeigt werden, dass der Mittelpunkt von
ist.
Zunächst gilt, dass
ist, da
und
unter Parallelprojektion
in Richtung erhalten bleiben. Nun setzen wir
Parallele zu durch . Dann ist
und analog
.
Betrachten wir nun das Tetragon
so ist
als Mittenlinie des Mittendreiecks
(vgl. Satz aus letzter Vorlesung). Ebenso ist
als Mittenlinie des Mittendreiecks
.
Also ist das Tetragon ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im
Punkt schneiden. Somit ist der Mittelpunkt der
Diagonalzweiecke, also insbesondere der Mittelpunkt von
.
Der Beweis des Satzes hat uns ein weiteres Ergebnis geliefert: Das
Zweieck hat die gleichmäßige Unterteilung
in vier Teile, denn:
, da
unter auf
abgebildet wird. Analoges gilt für
.
, da
unter
auf
abgebildet wird und nach dem
vorher bewiesenen Satz der Mittelpunkt von
ist.
Wir wollen nun eine gleichmäßige Unterteilung von in
Teile konstruieren.
1. Fall: Wir betrachten eine Unterteilung in Teile. Eine solche
Unterteilung ist durch iterative Mittelpunktsbildung immer möglich.
Allerdings bleibt die Frage, ob es sich dabei um eine
gleichmäßige Unterteilung handelt, zu beantworten.
Zunächst betrachten wir :
Ist
? Die Unterteilung eines Zweiecks in
vier gleiche Teile haben wir für Dreiecke gezeigt (weiteres
Ergebnis). Ein dritter Punkt , welcher mit
und ein Dreieck bildet, liefert also die Behauptung.
Das bedeutet, dass wir mindestens eine affine Ebene mit (F), (D) und
(S) brauchen, eine affine Gerade reicht nicht aus,
da dort kein Dreieck existiert!
Für wird der Fall außen für
angewendet. Vollständige Induktion liefert dann die Behauptung.
2. Fall: Es sei keine Zweierpotenz.
Wir wählen nun
und einen Punkt
.
wird in Teile
unterteilt und der Punkt mit dem Punkt verbunden.
Eine Parallelprojektion (von der wir noch nicht wissen, ob sie
überhaupt existiert !) in Richtung auf liefert eine
gleichmäßige Unterteilung von in Teile.
Bleibt noch das Problem der Existenz der Parallelprojektion. Diese
existiert, falls
gilt. Um diesem Problem aus dem
Weg zu gehen, fordern wir schon in der Voraussetzung, dass alle Punkte
voneinander verschieden sind.
Definition: Gegeben sei ein affiner Raum mit (F), (D) und
(S). Eine Skala auf der Geraden g mit geordnetem
Einheitszweieck [für
auf ] ist eine
Folge
von Punkten auf mit der
Eigenschaft
und
.