Grundlagen der Geometrie
Protokoll der Übungsstunde vom 15.11.2000 (NMA)

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In der heutigen Übungsstunde wollen wir die Präsenzaufgaben vom 25.10.00 weiter besprechen. Es geht dabei um die Frage 3:

Welche Dilatationen mit zwei oder mehr Fixpunkten gibt es?

1. Schritt:

Wo sind wir?
In einem affinen Raum im Sinne der Axiome.

2. Schritt:

Was ist eine Dilatation?
Namensgebung: Es sei A = (P, G, I, ||) ein affiner Raum. delta sei eine Dilatation. Dann ist delta Element von Aut(A) mit delta = (alpha, beta), alpha: P arrow P, beta: G arrow G. (Siehe Definition auf Aufgabenblatt.) Ein Automorphismus ist ein Homomorphismus, d.h. nach unserer Definition des Homomorphismus folgt P^alpha I g^alpha aus P I g , und ein Isomorphismus, d.h. nach unserer Definition des Isomorphismus existiert ein inverser Homomorphismus delta´ = (alpha^-1, beta^-1). Die Zusatzeigenschaft für die Dilatation ist, dass für alle g aus G gilt: g beta || g.

3. Schritt:

Beispiel für Translation finden!
Wir betrachten den affinen Raum über R² : P = R × R, G = Menge aller Restklassen nach 1-dim. Teilräumen, I = Elementsein, g || h bedeutet, dass g und h Restklassen desselben Teilraums sind.
Gesucht: Translation tau = (alpha, beta) mit alpha: P arrow P, etwa alpha = ((x, y) arrow (x, y) + (a, b) für alle Elemente (x, y) von P), wobei (a, b) ein festes Element von R x R \ {(0,0)} ist.
Eigenschaften überprüfen:
Ist tau Automorphismus? Dazu:
-Was ist beta? Es sei g Element von G, also g = (r, s) + <(u, v)>. Dann ist g^beta = [(r,s) + <(u,v)>]^alpha. Also ist tau ein Homomorphismus.
-Existiert tau^-1? Ja: alpha^-1 = ((x, y) arrow (x, y) - (a, b)), d.h. tau ist ein Isomorphismus.
-Ist die Dilatationseigenschaft erfüllt? Ist g^beta || g? Ja, da g^beta=((r, s) + <(u, v)>)^alpha=((r, s) + (a, b) + <(u, v)>).

4. Schritt:

Was ist eine Translation?
Da (a, b) ungleich (0, 0) ist, ist immer (x, y) ungleich (a, b) + (x, y), d.h. es existiert kein Fixpunkt. Also ist tau eine Translation. Auch für (x, y) = 0 ist tau = id eine Translation.
Die Menge aller Translationen umfaßt T={tau_{(a, b)} | (a, b) Element von R x R}.
Es gilt tau_{(a, b)} * tau_{(c, d)} = tau_{(a, b) + (c, d)}.
Bildet man eta = ((a, b) arrow tau_{(a, b)}): (R x R)₊ arrow T_*, so ist eta ein Homomorphismus von Halbgruppen, Monoiden und sogar Gruppen.
Maschinerie:
Kern eta = {(a, b) | tau_{(a, b)} = id} = {(0, 0)}, d.h. eta ist Gruppen-Monomorphismus.
Bild eta = {tau_{(a, b)} | (a, b) Element von R x R} = T, d.h. eta ist Gruppen-Epimorphismus.
Also ist eta ein Gruppen-Isomorphismus.
[Offene Frage: Enthält T alle Translationen?]

5. Schritt:

Beispiel für Streckung finden!
Wir betrachten den affinen Raum über R²: P = R x R, G = Menge aller Restklassen nach 1-dimensionalen Teilräumen, I = Elementsein, g || h bedeutet, dass g und h Restklassen desselben Teilraums sind.
Gesucht: Streckung sigma = (alpha, beta) mit alpha: P arrow P, etwa alpha = ((x, y) arrow 2 (x, y) für alle (x, y) in P), wobei 2 Element von R ist.
Eigenschaften überprüfen:
Ist sigma ein Automorphismus? Dazu:
-Was ist beta? Es sei g ein Element von G, also g = (r, s) + <(u, v)>. Dann ist g^beta = [(r, s) + <(u, v)>]^alpha. Also ist sigma ein Homomorphismus.
-Existiert sigma^-1? Ja, alpha^-1 = ((x, y) arrow 1/2 (x, y)), d.h. sigma ist ein Isomorphismus.
-Ist die Dilatationseigenschaft erfüllt? Ist g^beta || g? Ja, da g^beta = ((r, s) + <(u, v)>)^alpha = (2 (r, s) + <(u, v)>) ist.

6. Schritt:

Existieren Fixpunkte?
Wenn (x, y)^alpha = (x, y) ist, d.h. wenn 2 (x, y) = (x, y) ist, so ist (x, y) = (0, 0). Also ist (0, 0) einziger Fixpunkt und sigma eine Streckung.
Die Menge aller Streckungen umfaßt S = {sigma_n | n Element von R \ {0}}.
Es gilt sigma_n * sigma_m = sigma_{n * m} .
Bildet man omega = (n arrow sigma_n): R \ {0}_* arrow S_*, so ist omega ein Homomorphismus von Halbgruppen, Monoiden und sogar Gruppen.
Maschinerie:
Kern omega = {n | sigma_n = id} = {1}, d.h. omega ist ein Gruppen-Monomorphismus.
Bild omega = {sigma_n | n Element von R \ {0}} = S, d.h. omega ist ein Gruppen-Epimorphismus.
Also ist omega ein Gruppen-Isomorphismus.
[Offene Frage: Enthält S alle Streckungen?]

Anmerkung: Um einen anderen Fixpunkt als (0, 0) zu erhalten, betrachten wir tau_{(a, b)}sigma_ntau_{(a, b)}^-1. Dies ist eine Streckung mit Fixpunkt -(a, b).
tau_{(a, b)} S tau_{(a, b)}^-1 ist eine Gruppe von Streckungen mit Fixpunkt -(a, b). Die Vereinigung aller tau_{(a, b)} S tau_{(a, b)}^-1 für (a, b) Element von R x R ist keine Untergruppe. (Beweis selbst.)
Alle diese Streckungsgruppen liegen in der Dilatationsgruppe.

7. Schritt:

Zurück zur Frage: Gibt es Dilatationen mit mindestens zwei Fixpunkten?
Nun sein delta eine Dilatation mit zwei Fixpunkten A ungleich B. Wie wird dann ein beliebiger dritter Punkt X abgebildet?
Zunächst liege X nicht auf der Geraden AB. Für die Gerade g, auf der A und X liegen, folgt g^delta = g, und für die Gerade h, auf der B und X liegen, folgt h^delta = h. Da X der Schnittpunkt der fest bleibenden Geraden g und h ist, folgt X^delta = X.
Für die Punkte auf der Geraden von A und B wähle X als A´, dann folgt mit demselben Schluss, daß auch sie fix bleiben. Also ist delta = id. Es gibt also genau eine Dilatation mit mehr als 2 Fixpunkten und diese ist gerade die Identität.

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