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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 16.11.00 (FM)

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Ziel der Vorlesung war es, die Gültigkeit des großen Satzes von Pappus in einem konkreten Beispiel für einen projektiven Raum zu überprüfen.

Gegeben sei ein Links-Vektorraum V über einem Schiefkörper K mit dim (V) ³ 3.
Dann  sei P(V):= (P, G, I), wobei P die Menge aller eindimensionalen Teilräume von V bezeichnet. Sie werden von jeweils einem Element x ¹ 0 aus V erzeugt.
G bezeichnet die Menge aller zweidimensionalen Teilräume von V. Sie werden von linear unabhängigen Paaren (u, v) mit Elementen u und v aus V erzeugt. X I g wird gelesen als: X ist Teilraum von g.
Damit ist P(V) ein projektiver Raum im Sinne der Axiome.

Ein projektiver Raum erfüllt den großen Satz von Pappus, wenn gilt:
Sind g, h zwei sich schneidende Geraden mit Schnittpunkt S und A, B, C von S verschiedene Punkte auf g sowie A', B', C' von S verschiedene Punkte auf h, so liegen die Schnittpunkte (die nach dem projektiven Veblen-Young-Axiom existieren) der Geradenpaare (AB', A'B), (BC', B'C) und (AC', A'C) auf einer Geraden.

Um die Gültigkeit überprüfen zu können, müssen wir zunächst alle vorkommenden Punkte und Geraden als Elemente von P(V) darstellen (siehe oben).
Wir erhalten als Darstellung für die Punkte die Erzeugnisse S = <s>, A = <a>, B = <b>, C = <c>, A' = <a'>, B' = <b'> und C' = <c'>.
Für die Gerade g erhalten wir g = SA = <s, a>, wobei das Paar (s, a) linear unabhängig in V ist, da S und A zwei verschiedene Punkte sind. Analog stellen wir die Gerade h = SA' als Erzeugnis <s, a'> dar.
(s, a, a') ist linear unabhängig, da g und h zwei verschiedene Geraden sind, und ist damit Basis für W:= <s, a, a'>. Alle weiteren Punkte können wir in dieser Basis darstellen.
Der Punkt B liegt auf der Geraden g, was in unserer Struktur bedeutet, daß das Erzeugnis <b> Teilraum von <s, a> ist. Wir können also b als Linearkombination von s und a darstellen: b = ls + ma. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien beide Koeffizienen ungleich Null, ansonsten wäre B = A und die Schnittpunkte lägen auf der Geraden AC', also der Satz erfüllt.
Da wir b und a noch nicht definiert haben, können wir sie durch 1/l b beziehungsweise m/l a ersetzen und erhalten die Gleichung
b = s + a,
haben damit also beide Koeffizienten eliminiert.
Analog verfahren wir bei der Darstellung der anderen Punkte und erhalten für sie die Gleichungen
c = s + ga,
b' = s + ba',
c' = s + a'.
Für die Schnittpunkte der Geraden definieren wir die Bezeichnungen
X := AB' Ù A'B,
Y := BC' Ù B'C,
Z := AC' Ù A'C.
Der Punkt X, in unserer Struktur das Erzeugnis <x>, läßt sich also darstellen durch
<x> = X = <a, b'> Ù <a', b>,
also durch Linearkombinationen aus a und b' beziehungsweise a' und b.
Mit Anwenden der Eindeutigkeit der Basisdarstellung und Ersetzen von bisher nicht definierten Größen (siehe oben) lösen wir das Gleichungssystem der beiden Darstellungen für x zu
x = a + s + ba'.
Analog verfahren wir bei der Darstellung der anderen Schnittpunkte und erhalten die Gleichungen
y = tga + ss + ts + sba',
z = ga + s + a'.
Sollte der große Satz von Pappus in unserer Struktur erfüllt sein, die Punkte X, Y und Z also auf einer Geraden liegen, so müßte (x, y, z) linear abhängig in V sein.
Durch Auflösen des Gleichungssystems für x, y und z gelangen wir zu folgender Bedingung für die lineare Abhängigkeit in V:
(s-1t) * (g - 1) = (g - 1) * (s-1t).

Der große Satz von Pappus gilt also in P(V) genau dann, wenn K kommutativ ist.

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