Präsenzübung
1. Ein Beispiel für eine Inzidenzstruktur mit Parallelität.
Es sei V ein Linksvektorraum über einem Schiefkörper K. Setze
P = V,
G = Menge aller Restklassen nach 1-dimensionalen Teilräumen von V,
I = ∈,
g || h, wenn g und h Restklassen nach
demselben 1-dimensionalen Teilraum sind.
Erfüllt (P, G, I, ||) die im Protokoll vom 19.10.00
aufgeführten "Axiome" I1, I2, I3 und A1, A2?
Der Nachweis gelang für den Fall, dass V mindestens die Dimension 2 hat.
Die hier betrachtete Struktur nennen wir den affinen Raum über
dem Vektorraum V.
2.Man skizziere den affinen Raum über einem 2-dimensionalen Vektorraum mit 2 bzw. 3 Elementen. Wieviele Punkte, Geraden, Richtungen hat er?
3.Nun sei V der 2-dimensionale Vektorraum über dem Körper mit 3 Elementen. Im zugehörigen affinen Raum ("Ebene") über V lassen wir nun einen Punkt weg; alles andere bleibt. Sind in dieser Struktur ebenfalls alle "Axiome" I1, I2, I3, A1, A2 erfüllt?
Der Nachweis gelang! Dieses "Raumstück" erfüllt also auch alle bisherigen Axiome. Wenn wir Axiome für einen affinen "Raum" haben wollen, müssen wir noch ein Axiom hinzufügen, das Raum"stücke" ausschließt. Das wird das Veblen-Young-Axiom leisten.
Welches Axiom würden Sie hinzunehmen?