Grundlagen der Geometrie (WS 00/01)
Vorlage zum 23.11.00

"Logisch verwandte" Aussagen zum Mittelpunktproblem für Zweiecke einer affinen Ebene mit Fano-Axiom

Wir betrachten die folgenden Aussagen über eine affine Ebene (im Sinne der Axiome) mit Fano-Axiom.

1. Der Mittelpunkt eines jeden Zweiecks ist unabhängig von der Wahl des verwendeten Parallelogramms.
2. Gehen bei einem Hexagon (Def. analog zu Tetragon) mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten alle drei Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt, so ist auch das dritte Paar von Gegenseiten parallel.
3. In einem Hexagon, bei dem alle drei Paare von Gegenseiten parallel sind, gehen die drei Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt.
4. Gegeben seien drei Geraden g_i mit sechs(!) Punkten S_i und T_i auf g_i (i = 1, 2, 3), so daß zwei Paare entsprechender Seiten der geordneten Dreiecke (S₁, S₂, S₃) und (T₁, T₂, T₃) parallel sind (etwa S₁S₂ || T₁T₂ und S₂S₃ || T₂T₃).
   Gehen die drei Geraden g_i durch einen siebenten(!) gemeinsamen Punkt oder sind alle drei parallel, so ist auch das dritte Paar entsprechender Seiten parallel (S₁S₃ || T₁T₃).
5. Gegeben seien drei Geraden g_i mit sechs(!) Punkten S_i und T_i auf g_i (i = 1, 2, 3), so daß zwei Paare entsprechender Seiten der geordneten Dreiecke (S₁, S₂, S₃) und (T₁, T₂, T₃) parallel sind (etwa S₁S₂ || T₁T₂ und S₂S₃ || T₂T₃).
   Ist auch das dritte Paar entsprechender Seiten parallel (S₁S₃ || T₁T₃), so gehen die drei Geraden g₁, g₂, g₃ durch einen gemeinsamen Punkt oder sie sind parallel.