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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 23.11.2000 (EK)

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Anhand der Vorlage zur Vorlesung vom 23. 11. 2000 werden die Überlegungen der letzten Stunde wiederholt. Wir suchten nach Aussagen, die beim Beweis der Eindeutigkeit der Mittelpunktkonstruktion eines Zweiecks via Parallelogrammen nützlich sein können; diese Aussagen müssten beweisbar sein oder als neue Axiome eingeführt werden. In der Vorlage wurden solche Aussagen zur Diskussion gestellt.
Es stellt sich die Frage nach eventuellen logischen Zusammenhängen zwischen diesen Aussagen im Rahmen unseres axiomatischen Aufbaus.
Der erste Punkt ist die Veranschaulichung der Aussagen.
Zu 1.

Zu 2.

Zu 3.

Zu 4.

Zu 5.

In Gruppen wird die Frage nach logischen Zusammenhängen untersucht, wobei sich jede Gruppe anderen Aussagen, bzw. dazugehörenden vermuteten logischen Verwandtschaften widmet.
Zunächst wird überlegt, ob die Aussagen in der vorliegenden Formulierung jeweils sinnvoll sind, d. h. ob sie physikalisch plausibel sind und gegebenenfalls im Rahmen der Analytischen Geometrie (also für affine Ebenen der Form A(V)) bewiesen werden können. Dann sollen mögliche logische Zusammenhänge zwischen Aussagen betrachtet werden.

Ergebnis der Gruppen:
Zur Aussage 3 wird ein (physikalisches) Gegenbeispiel gefunden.

Somit ist die Aussage 3 nicht sinnvoll. Deshalb werden Vorschläge für zusätzliche Voraussetzungen gemacht, so dass die Aussage gilt.

1. Vorschlag:

3'. In einem Hexagon, in dem alle drei Paare von Gegenseiten parallel sind und in dem die Eckpunkte je eines Paares von Gegenseiten ein Parallelogramm bilden, gehen die drei Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt.

2. Vorschlag:

3''. In einem Hexagon, in dem für zwei Gegenseitenpaare gilt, dass die Endpunkte eines jeden der beiden Gegenseitenpaare ein Parallelogramm bilden, gehen die drei Diagonalen durch einen gemeinsamen Punkt.
Die Aussagen 3' und 3'' erscheinen uns physikalisch richtig zu sein.
Aus Aussage 3'' wird man Aussage 1 ableiten können; da sind wir zuversichtlich.

Zur 2. Aussage wird ebenfalls ein physikalisches Gegenbeispiel gefunden:

Die Ausformulierung der neuen Aussagen 3' und 3'' sowie die Formulierung und die Beweise weiterer Zusammenhänge zwischen Aussagen der Vorlage sind in Übungsaufgabe 15 zu bearbeiten.

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