Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 27.11.2000 (TR)

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Thema: Mittelpunkte in affinen und projektiven Räumen

In der letzten Sitzung wurden u. a. Aussagen über affine Räume formuliert (die erfüllt sein können oder nicht). Zunächst jedoch eine Definition:

Definition:

• Ein geordnetes Dreieck ist eine Folge (A, B, C) der Ecken eines Dreiecks {A, B, C}.
• Ein geordnetes Dreiseit ist eine Folge (a, b, c) der Seiten eines Dreiseits {a, b, c}.
• Zu einem geordneten Dreieck (A, B, C) gehört das geordnete Dreiseit (a, b, c), wobei a = BC, b = CA, c = AB gesetzt ist. Zu einem geordneten Dreiseit (a, b, c) gehört das geordnete Dreieck (A, B, C), wobei A = bc (Schnittpunkt von b und c), B = ac, C = ab gesetzt ist.

Weitere Aussagen über einen affinen Raum:

(d)

Für jedes Paar geordneter Dreiecke (A, B, C) und (A', B', C') gilt: Sind g, h, k drei (!) parallele Geraden mit A, A' auf g, B, B' auf h, C, C' auf k, so daß zwei Paare entsprechender Seiten des zugehörigen Dreiseits parallel sind, dann ist auch das dritte Paar entsprechender Seiten parallel. Skizze:

[Die Aussage gilt in A(V) offenbar nicht für den Fall, daß zwei der Geraden g, h, k zusammenfallen, betrachte dazu die folgende Skizze:

Die rot gezeichneten Geraden sind in diesem Fall nicht parallel!]

(D)

Für jedes Paar geordneter Dreiecke (A, B, C) und (A', B', C') gilt: Sind g, h, k drei kopunktale Geraden [durch einen Punkt Z] und A, B, C, A', B', C' Punkte mit A, A' auf g, B, B' auf h, C, C' auf k, so daß zwei Paare entsprechender Seiten des zugehörigen Dreiseits parallel sind, dann ist auch das dritte Paar entsprechender Seiten parallel. Skizze:

[Was passieren kann, wenn z. B. A = A' = Z ist, zeigt die folgende Skizze:

Wie man sieht, sind die rot gezeichneten Geraden nicht parallel!]

(d und D)^-1

Für jedes Paar geordneter Dreiseite (a, b, c) und (a', b', c') gilt: Sind die Paare entsprechender Seiten parallel, und entsprechende Ecken der zugehörigen Dreiecke voneinander verschieden, so gehen die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken der zugehörigen Dreiecke durch einen Punkt [Z] oder sie sind (alle drei) parallel. Skizze:

Zitat:

Zwischen den bisher genannten Aussagen bestehen für affine Ebenen (auch für affine Räume?) die folgenden Beziehungen:

[(D) geht auf Desargues (17. Jhd.) zurück, (P) auf Pappos (ca. 300 n. Chr.).]

Eindeutigkeitssatz für Mittelpunkte via Parallelogramm-Konstruktion in affinen Räumen

Gegeben ist ein affiner Raum R = (P, G, I, ||) mit Fano-Axiom (F) und Desargues-Axiom (D). [(D) ist in affinen Räumen mit windschiefen Geraden immer erfüllt.] Dann ist der Mittelpunkt eines Zweiecks via Parallelogramm-Konstruktion eindeutig bestimmt.

Beweis:

Zunächst eine Skizze der (rämlichen) Situation:

Zu zeigen ist M = M'. Der Skizze nach haben wir die Vermutung XX' || YY'. Ist dies gegeben, dann ist der Beweis mit (d und D)^-1 (folgt aus (D)) fertig.

Betrachte die Parallele p zu XX' durch Y. Konstruiere zusätzliche Parallelogramme und . Siehe dazu auch folgende Skizze:

Nach dieser Konstruktion ist XZ || AB || X'Z'. Setze g = XZ, h = AB, k = X'Z'.

Bei den geordneten Dreiecken (A, X, X') und (B, Z, Z') sind zwei Paare entsprechender Seiten der zugehörigen Dreiseite parallel, wobei die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken [nämlich g, h, k] parallel sind. Aus (d) [(D) impliziert (d), siehe Zitat] folgt: XX' || ZZ', also p || ZZ'.

Nach dem Parallelenaxiom sind Z, B, Y kollinear, ebenfalls Z', B, Y'. Nach dem affinen Veblen-Young-Axiom ist das Geradenpaar (p, Z'BY') nicht windschief und wegen Z' nicht parallel, also existiert ein Schnittpunkt Y^- = p(Z'BY').

Vergleiche nun (A, X, X') mit (B, Y, Y^-): Die entsprechenden Seitenpaare des zugehörigen Dreiseits sind parallel: AX || BY, AX' || BY' = BY^-, XX' || YY^- = p. Aus (d und D)^-1 [folgt aus (D)] folgt: entsprechende Verbindungsgeraden AB, XY, X'Y^- sind parallel oder kopunktal. Da die Parallelität zur Tatsache (AB)(XY) = M steht, existiert ein gemeinsamer Schnittpunkt M: M liegt auf X'Y^-. Die geordneten Dreiecke (B, X, X') und (A, Y, Y^-) sind "zentral" mit "Zentrum" M. Zwei Seitenpaare entsprechender Seiten sind parallel: BX || AY, XX' || YY^-. Also [wg. (D)] ist auch das dritte Seitenpaar parallel: BX' || AY^-. Nach dem Parallelenaxiom ist AY^- = AY' [wg. BX' || AY'].

Es folgt Y^- = (AY^-)(BY') = (AY')(BY') = Y'. Also ist M = M'.

Neues Verständnis durch projektive Sicht

Die Aussagen über einen affinen Raum sollen demnächst in Aussagen über einen projektiven Raum übertragen werden.

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