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Geometrie lernen und lehren
Aufgaben zur Affinen Geometrie

WS 2004/05
Ulrich Schoenwaelder


http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder
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AUFGABEN

Aufgaben zur Affinen Geometrie hier (Aufgaben 1 bis 12).
Aufgaben zur Projektiven Geometrie auf einer neuen Seite.

Aufgabe 1 (bis Mo, 18.10.04).
Beweisen Sie den Satz über die Gauß-Gerade eines Vierseits.

Aufgabe 2 (bis Mo, 25.10.04).
Aufgabe 3.
Installieren Sie sich das Dynamische Geometrie-System (DGS) Geonext auf Ihren Rechner: http://geonext.de. -- Wir werden demnächst eine Einführung dazu abhalten.

Aufgabe 4 (bis Mo, 25.10.04).
Behandeln Sie im Satz über die Gauß-Gerade den Fall beta * alpha = 1. D. h.: Formulieren Sie eine Behauptung und beweisen Sie sie.

Aufgabe 5 (freiwillig bis Mo, 25.10.04).
Beweisen Sie die Formel A * 0 = A für alle Punkte A eines affinen Raumes [im Sinne der axiomatischen Analytischen Geometrie].

Aufgabe 6 (freiwillig bis Mo, 25.10.04).
Machen Sie eine Skizze zum Satz über die Gauß-Gerade in einem affinen Raum über einem zweidimensionalen Vektorraum über dem Körper mit 5 Elementen.

Aufgabe 7 (bis Mo, 8.11.04).
Geben Sie Aufgabe 6 am Montag, den 8.11. ab. (Farbig?)
Benutzen Sie dabei die folgenden Punkte und Geraden:
A = (2, 0), B = (3, 0), C = (4, 0), D = (4, 2), E = (4, 4),
a = AB, b = CD, c = BE, d = AD.

Aufgabe 8 (bis Mo, 8.11.04).
Zeichnen Sie eine Figur zum Axiom (d), die zeigt, dass (d) in der Moulton-Ebene nicht gilt.

Aufgabe 9 (bis Mo, 8.11.04).
Sind in affinen Räumen [im Sinne der Synthetischen Geometrie] die Aussagen (v) und (f) äquivalent?
(v) (Verdoppelungsaxiom) Verdoppelung von {A, B} über B hinaus führt auf einen neuen Punkt C ungleich A.
(f) (Fano-Axiom) Die Diagonalen eines Parallelogramms haben einen Schnittpunkt.

Aufgabe 10 (bis Mo, 15.11.04).
Beweisen Sie im Rahmen der Analytischen Geometrie affiner Räume über Schiefkörpern folgende Aussagen.
(a) Die Diagonalen eines Parallelogramms "halbieren" einander.
(b) Den kleinen Satz von Desargues.
(c) Den großen Satz von Desargues.
(d) Die Umkehrung von kleinem und großem Satz von Desargues.

Aufgabe 11 (bis Mo, 15.11.04).
Behandeln Sie den noch offenen Sonderfall im Beweis der Unabhängigkeit des Mittelpunktes via Parallelogrammkonstruktion von der Wahl des Hilfspunktes. In diesem Sonderfall ist HK = H'Kquer, so dass man (D) nicht anwenden kann.

Aufgabe 12 (bis Mo, 15.11.04).
Schauen wir noch einmal auf das Problem der Wohldefiniertheit des Mittelpunktes eines Zweiecks via Parallelogrammkonstruktion! Der Fall, dass der Hilfspunkt H' in derselben Ebene wie [A, H, B] liegt, lässt sich leicht behandeln; tun Sie's.

Aufgabe 13 (bis Mo, 29.11.04) zur Projektiven Geometrie auf einer neuen Seite.
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