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Geometrie lernen und lehren
Aufgaben zur Projektiven Geometrie
WS 2004/05
Ulrich Schoenwaelder
http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder
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und lehren, WS 2004/05.
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AUFGABEN
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Hier folgen die Aufgaben zur Projektiven Geometrie: Aufgabe 13 ff.
Aufgabe 13 (bis Mo, 29.11.04).
Was wird aus der affinen Mittelpunkt-Konstruktion für [A, B] via
Parallelogramm-Konstruktion, wenn man in eine projektive Ebene geht und
Parallelität durch u-Parallelität ersetzt?
Genauer: Von welchen Hilfsobjekten hängt der u-Mittelpunkt
nicht ab? Wovon hängt er wirklich ab?
Benutzen Sie Geonext zum Erperimentieren und Aufstellen einer Vermutung.
Aufgabe 14 (bis Mo, 29.11.04).
Zeichnen Sie die zum Horizont führenden Gleise der ebenen Bahnstrecke,
wie der einäugige Maler sie auf seine Leinwand zeichnet. Dazu
gehören insbesondere Schwellen; zeichnen Sie zunächst
nur zwei Schwellen (nur als Strich), und konstruieren Sie weitere
Schwellen in Abhängigkeit hiervon.
Aufgabe 15 (bis Mo, 6.12.04).
Zeichen Sie einen "Desargueschen Weihnachtsbaum" [US] nach folgenden Überlegungen:
- die Äste einer Fichte gehen quirlförmig vom Stamm ab;
- die einzelnen Etagen erscheinen von Ferne als Dreiecke;
- die unteren Äste hängen steiler herunter als die höheren;
richten Sie es so ein, dass je zwei solcher Dreiecke Teil einer Desargues-Figur werden.
Aufgabe 16 (bis Mo, 6.12.04).
Zeigen Sie im Rahmen der Projektiven Synthetischen Geometrie die Äquivalenz der folgenden
Aussagen [Projektives Fano-Axiom].
(f) Die drei Diagonalpunkte eines ebenen Vierecks sind nicht kollinear.
(f*) Die drei Diagonalen eines ebenen Vierseits sind nicht kopunktal.
Projekte zur Kreativität (bis demnächst).
- Welche affinen Versionen des projektiven Satzes von Desargues gibt es?
- Gibt es eine projektive Variante der affinen Mittelpunktkonstruktion
via Parallelogrammdiagonalen? Wenn ja, von welchen Hilfspunkten hängt
sie ab oder nicht ab? (Aufgabe 13)
- Gibt es eine projektive Version des Satzes über die Gaußgerade?
Wenn ja, welche affinen Versionen ergeben sich daraus?
- Zu zwei Geraden mit je drei (vom Schnittpunkt der Geraden verschiedenen)
gegebenen Punkten kann man auf verschiedene Weisen [im Rahmen der Projektiven
Synthetischen Geometrie] Pappus-Geraden bilden. Wieviele sind es und wie
liegen sie zueinander?
Aufgabe 17 (bis Mo, 17.01.05).
a) Wie lautet die zum projektiven Satz von Pappus duale Aussage für
projektive Ebenen?
b) Folgt diese duale Aussage aus dem Satz von Pappus?
Aufgabe 18: Sylvesteraufgabe (bis Mo, 17.01.05).
Ein Kutter verlässt den Hafen und fährt mit durchschnittlicher
Geschwindigkeit a aufs Meer. Nach einiger Zeit empfängt der
Funker des Zollbootes im Hafen zufällig eine Anweisung vom
Kapitän des Kutters an ein verdächtiges Schnellboot im Hafen
des Inhalts: wir sind jetzt so und so weit (Entfernung e)
gefahren; starte jetzt zwecks Übergabe.
Das Schnellboot erreicht eine Geschwindigkeit b. Wie schnell
muss das Zollboot, das erst nach einer Zeitdauer u startklar
ist, weil der Rest der Mannschaft in der Hafenkneipe Sylvester feiert,
fahren können, um rechtzeitig am Übergabepunkt eintreffen
zu können?
Leiten Sie eine Formel für die nötige Geschwindigkeit mit
geometrischen Mitteln ab! Natürlich kommen wir um Termumformungen
nicht herum. (Im Zeit-Weg-Diagramm werden die drei
Bewegungen durch Geraden dargestellt.)
Aufgabe 19: Entdecken [DGS] und Beweisen (bis Mo, 17.01.05).
In einer projektiven Ebene mit geeigneten Axiomen sei ein Dreieck
[A, B, C] mit Seiten a = BC, usw. gegeben; ferner
drei(!) Ecktransversalen
a' = AA', b' = BB', c' = CC'
für drei(!) Punkte A' auf BC, usw.
Ich nennne
A" = BC . B'C' [Schnittpunkt], usw. die
zugehörigen Ceva-Punkte und
a" = (b . c)(b' . c') [Verbindungsgerade], usw. die
zugehörigen Menelaos-Geraden.
Zusätzliche Bezeichnungen: a+ := B'C', usw.,
A+ = b' . c', usw.)
a) Untersuchen Sie die Lage der Ceva-Punkte, wenn die
Ecktransversalen a', b', c' kopunktal sind (etwa Seitenhalbierende,
Höhen, Winkelhalbierende, ..).
b) Untersuchen Sie die Lage der Menelaos-Geraden, wenn die Punkte
A', B', C' kollinear sind.
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