Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 02.11.00 (FM)

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Zunächst wurden die Begriffe "Synthetische Geometrie" und "Analytische Geometrie" gegenüber gestellt.

• Unter synthetischer Geometrie verstehen wir das Studium geometrischer Strukturen mit axiomatischen Methoden.

• Analytische Geometrie meint das Studium geometrischer Strukturen mit algebraischen Methoden.

Um Definitionen für die Begriffe Tetragon, Trapez und Parallelogramm formulieren zu können, führten wir zunächst für ein Tetragon die Schreibweise [A, B, C, D] ein.
Sie bezeichnet eine Folge, in der je zwei aufeinander folgende Elemente eine ausgezeichnete Seite bilden.
Wir stellten fest, daß jeweils acht Folgen das gleiche Tetragon beschreiben.

Über gruppentheoretische Überlegungen kamen wir zu folgender Definition.

Definition:
Gegeben sei ein affiner Raum [im Sinne der Axiome] mit einem Viereck E = {A, B, C, D}.
Ein Tetragon zu E ist eine U-Bahn auf Q.
Dabei ist Q die Menge aller Quadrupel mit verschiedenen Einträgen aus E,
a = (A, B, C, D) und b = (A, B) (C, D) sind Permutationen aus der symmetrischen Gruppe S_E ^. und
U = <a, b> £ S_E^. die von a und b erzeugte Untergruppe von S_E^..

Als Schreibweise für eine Tetragon führen wir an dieser Stelle neu ein:
= .
Die Seiten des Tetragons sind die Seiten AB, BC, CD, DA des Vierecks E. Die anderen Seiten AC, BD des Vierecks E heißen Diagonalen des Tetragons.
 

Ein Parallelogramm ist ein Tetragon mit parallelen Gegenseitenpaaren.
Ein Trapez ist ein Tetragon mit mindestens einem Paar paralleler Gegenseiten. Wir meinen bei einem Trapez immer AB || CD, wenn  geschrieben wird.
 
 

Nach anschaulichen Überlegungen über die Gegebenheiten in einem Vektorraum formulierten wir folgende Sätze:

• Parallelogrammsatz

Gegeben sei ein affiner Raum im Sinne der LA I über V und ein Viereck E = {A, B, C, D}.
Betrachte das zugehörige Tetragon .
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ist ein Parallelogramm.
2. = 

• Trapezsatz/Strahlensätze

Gegeben sei ein affiner Raum im Sinne der LA I über V und ein Viereck E = {A, B, C, D}.
Betrachte das zugehörige Tetragon .
BC Ù AD =: S existiere, und es sei  = l (lÎ K).
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ist ein Trapez mit AB || CD.
2. <  > = <  > erzeugen den selben Teilraum.
3. = l  (Erster Strahlensatz).
4. = l  (Zweiter Strahlensatz).