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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 30.10.00 (AS)

 Grundlagen der Geometrie

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In der Übungsstunde wurde die erste Aufgabe von Blatt 1 bearbeitet.

Wie soll an Übungsaufgaben herangegangen werden?

  1. Aufgabe verstehen, d.h. z. B. Definitionen nachschlagen und notieren.
  2. Nach einer Lösungsidee suchen.
  3. Aufgabe lösen. Dazu gehört u.a.:


Zu 1)
Affiner Raum über einen Vektorraum:
V  Links- Vektorraum über Schiefkörper,
P = V, G = Menge aller Restklassen nach 1- dimensionalen Teilräumen,
I = Elementsein,
g || h, wenn g, h Restklassen nach demselben Teilraum sind.		 Affiner Raum:
(P, G, I, || ) mit I1 – I3, A1 – A3.

Für affine Räume über Vektorräumen sind I1 – I3, A1 – A2 bereits bewiesen. Noch zu zeigen ist A3 (Veblen-Young Axiom).
Dann ist diese Struktur ein affiner Raum im Sinne der Axiome.
 

Zu 2)
In diesem Beispiel wird versucht, mit Hilfe der Analytischen Geometrie, d. h. Algebra, die Aufgabe zu lösen.
 

Zu 3)
Das Veblen-Young Axiom: Es sei {A, B, C, D} ein Viereck (Menge von vier Punkten von denen je drei nicht kollinear sind) in P.
Die Geraden AB, CD seien nicht windschief* und BC, DA seien nicht windschief**.
[Z. z.: BD, AC sind nicht windschief***].

* d. h. es ex. S Î P mit S : = AB Ù CD oder AB || CD.
** d. h. es ex. T : = BC ÙDA oder BC || DA.
*** d. h. es ex. R : = BD ÙAC oder BD || AC. Def.: Hier bezeichnet S : = AB ÙCD, d. h. S I AB und S I CD, den Schnittpunkt von AB und CD.
 

Für den Beweis sind drei Fälle zu betrachten:

  1. AB || CD und BC || DA.
  2. AB Ù CD existiert und es ist BC || DA oder analog BC Ù DA existiert und es ist AB || CD.
  3. AB Ù CD und BC ÙDA existieren.

1.Fall (||, ||): AB || CD und BC || DA, d. h. es gilt:
AB = A + U = B + U, wobei U = <A - B>.
CD = C + <C - D> = D + <C - D>.
Aus AB || CD folgt: <A - B> = <C - D>.

Um nun zeigen zu können, daß BD und AC nicht windschief sind, benötigen wir einen Weg, unser geometrisches Problem in die Algebra zu übertragen, da wir dort sowohl Punkte durch Definition eines Nullpunktes als auch Seiten durch Vektoren ausdrücken und somit die dort geltenden Rechenregeln benutzen können.
 
 

Einschub: "Affiner Raum" im Sinne der LA I:

NIEMALS PUNKTE UND VEKTOREN VERMISCHEN !!!

Vektoren gehören in die Algebra. Wir benötigen "Vektoren abtragen" in der Geometrie:
* v : P ® P (1- stellige Operation auf P) für jedes v ÎV (Translation).
     Regeln: 1) (X * v) * w = X * (v + w).
                 2) Jedes * v ist Bijektion auf P.
                 3) P * : V® P ist Bijektion für alle P Î P
     (d. h. Punkte entsprechen Vektoren bei Wahl eines Nullpunkts / Ursprungs).
(P, V, {* v | v ÎV}) mit Regeln 1- 3 ist ein affiner Raum im Sinne der LA I.
 
 

Übertragung auf unser Problem:
Bei uns sind Punkte Vektoren.
* B bedeutet Addition, d. h. * B : = + B.
ist dann B – A.

(Um von Punkten zu Vektoren zu kommen, muß ein Ursprung gewählt werden. Dann braucht nur noch in V gerechnet werden.).
 

Neue sprachliche Ebene (affine Räume im Sinne der LA I):
Wähle "Ursprung" A; d. h. ersetze Punkte X durch Vektoren ÎV.
[(Idee) Drücke alle uns interessierenden Vektoren in  und als Linearkombinationen aus! ].
Die Folge (,) ist linear unabhängig, da {A, B, D} (als Teil eines Vierecks) ein Dreieck ist.
[Z. z.: ; Eigenschaft von "Parallelogrammen"].
 

Einschub über Parallelogramme:

Es gibt 24 Quadrupel (mit verschiedenen Punkten) aus diesen vier Punkten. Jeweils acht davon sollten das selbe Parallelogramm beschreiben. Die beiden links gezeigten Quadrupel stellen zwei dieser acht Quadrupel dar, die das selbe Parallelogramm ergeben sollen. Die gebogenen und geraden Verbindungslinien bedeuten hier, daß AB parallel zu CD und AD parallel zu BC ist (oben) und daß BC parallel zu DA und BA parallel zu CD ist (unten).
 
 

Frage am Schluß der Übungsstunde: Wie können die Äquivalenzklassen dargestellt werden?
 
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