1. Beweis der Strahlensätze (vgl. Vorlesung vom 2.11.2000).
Der Beweis erfolgt durch einen Ringschluss. Die erste Inklusion
ist klar, da nach Voraussetzung ist.
Die Inklusion
wird mit der gleichen Vorgehensweise wie
die Inklusion
gezeigt.
Beweisidee: Man suche sich zwei linear unabhängige Vektoren und
drücke die in der Behauptung gesuchten Vektoren durch diese linear
unabhängigen aus. Kann
man dies auf zwei verschiedene Arten, so kann ein Koeffizientenvergleich
durchgeführt werden, der hoffentlich zu dem gesuchten Ziel führt.
Der Fall
wird exemplarisch ausgeführt:
das Paar
ist linear unabhängig. Mit den Eigenschaften des
affinen Raumes lässt sich der gesuchte Vektor
darstellen in der Form:
(1)
Für den Vektor
gilt aber auch
,
da die
Punkte auf einer Geraden liegen. Diesen Zusammenhang in Gleichung
(1) eingesetzt führt zu:
(2)
kann aber auch auf andere Weise ausgedrückt
werden:
(3)
Nach Voraussetzung gilt
.
Die Seiten und sind nach Voraussetzung parallel zueinander, so dass
für
der Zusammenhang
für einen
Skalar gilt. Der
Vektor
kann wiederum mit Hilfe der beiden linear
unabhängigen
Vektoren wie folgt ausgedrückt werden:
, so
dass sich insgesamt
ergibt.
Durch
Einsetzen der Ausdrücke für
und
in Gleichung
(3) erhalten wir für
den Zusammenhang:
(4)
Der Koeffizientenvergleich in den Gleichungen (2) und (4)
führt zu
und Einsetzen des Koeffizienten in Gleichung (2) führt zu
der Behauptung
.
Mit einer analogen Vorgehensweise erhält man aus Voraussetzung (3) auch die
Behauptung (4). Der Ringschluss schließlich von (4) nach (1) ist wieder
klar, da die Behauptung direkt aus der Voraussetzung (4) folgt.
2. Beweis des Parallelogrammsatzes.
Auch hier benutzten wir die gleiche Vorgehensweise wie im Beweis des
Strahlensätze. Als Paar von linear unabhängigen Vektoren wählen wir
. Der Vektor
kann auf verschiedene Arten
ausgedrückt werden:
(5)
(6)
für einen Skalar .
Durch Koeffizientenvergleich erhält man und , was
zur Behauptung
führt.
3. Satz von Veblen und Young (alt). Satz: Gegeben sei ein affiner Raum (im Sinne der LA I) über einem
Vektorraum und ein Viereck , wobei das Seitenpaar
nicht windschief und auch das Seitenpaar nicht windschief ist.
Behauptung: Dann ist auch das Seitenpaar nicht windschief.
Beweis: 1. Fall: und .
Wir wollen zeigen, dass sich die beiden Seiten schneiden oder parallel sind (und
somit nicht windschief sind). Dazu muss die Frage beantwortet werden: existieren
Elemente
im Schiefkörper , so dass für den Schnittpunkt
(7)
gilt? Um Kandidaten für und zu bekommen, führen wir
zunächst eine Analyse durch. Wenn existiert, dann gilt für und
folgendes:
(8)
Umsortieren der Gleichung führt zu
(9)
Da das Paar
linear unabhängig ist, gilt für die Skalare
(10)
(11)
Nun werden zwei Fälle betrachtet.
Fall (a): In unseren Körper ist . Dann setzen wir
und
.
Fall (b): In unserem Körper gilt . Es ist zu zeigen, dass
ist. Wir wissen, dass gilt:
(12)
(13)
Aus der ersten Gleichung folgt, dass
ist. Diesen
Zusammenhang in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt
, woraus wegen der Gleichheit
der gesuchte Zusammenhang
folgt.
Das heißt, es existieren solche gesuchten und , für die die
Gleichung (8) erfüllt ist.
Für die Durchführung des Beweises wählen wir nun und wie
in der Analyse berechnet und bilden
. Daraus
folgt, dass der Punkt auf der Seite
liegt, also . Der Vektor
kann auch dargestellt werden
durch den Zusammenhang
,
woraus für den Punkt folgt:
(14)
Andererseits ist
und
somit gilt . Das bedeutet, dass auf
beiden Seiten liegt, und es folgt:
.
2.Fall: und
existiert.
Wir führen zunächst eine Analyse durch: Das Paar
ist linear unabhängig und deshalb
drücken wir alle Vektoren mit Hilfe dieser beiden aus. In dieser Analyse
nehmen wir an, dass der Schnittpunkt
existiert. Dann kann
der Vektor
für geeignete Skalare
folgendermaßen geschrieben werden:
(15)
Dabei gilt
, da sonst die Punkte und
zusammenfallen, und außerdem ist
, da sonst
gilt. Der Vergleich der Koeffizienten führt zu:
(16)
Also
und
.
Der Fall
muss gesondert betrachtet werden. Nach der
Voraussetzung sind die Seitenpaare und jeweils nicht
windschief. Der Punkt ist nun aber der Schnittpunkt der Diagonalen, so dass
auch das Seitenpaar nicht windschief und somit die Behauptung des
Satzes erfüllt ist.
Für den eigentlichen Beweis wird der Spieß umgedreht und die
Analyse rückwärts betrachtet. Wir wählen also die Skalare
und
. Dann bilden wir
(17)
Das bedeutet, dass sowohl auf der Seite , als auch auf liegt. Also
ist der Schnittpunkt der beiden Seiten und die Behauptung ist bewiesen.