Zurück zum
LDfM, zur Fachgruppe Mathematik,
zur Fakultät
für
Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften,
zur RWTH.
Grundlagen der Geometrie
Protokoll der Übungsstunde vom 08.11.00, Teil 1 (US)
Zurück zum
6.11.00;
weiter zur Übungsstunde vom
08.11.00, Teil2;
zur Stunde vom
09.11.00.
In dieser Übungsstunde wurde
Aufgabe 3
vom
1. Aufgabenblatt
sowie
Fragen 1 - 3
des
Aufgabenblattes der Präsenzübung vom 25.10.00
besprochen. In diesem Teil 1 geht es nur um Aufgabe 3.
Zu Aufgabe 3 (Kleiner Satz von Pappos).
Wir bezeichnen die Aussage des "Kleinen Satzes von Pappos" (über
einen affinen Raum im Sinne der Axiome) mit (p3), weil auf
jeder der beiden parallelen Geraden drei Punkte gegeben sind oder auch
weil man (ausgehend vom ersten Punkt A) auf dem Hinweg drei
Richtungen einschlägt und auf dem Rückweg drei parallele
Richtungen wählt. [Dass man so wieder am Ausgangspunkt anlange, ist
gerade der Inhalt der Aussage.]
Im Teil (i) der Aufgabe soll die Aussage (p3) für
affine Räme im Sinne der LA I bewiesen werden. Dazu wählt man
den Punkt A als Ursprung und ersetzt jeden Punkt X durch
den Ortsvektor AX- in V, dem zugrundeliegenden
Vektorraum einer Dimension mindestens zwei. Jeder unserer Vektoren
läßt sich in der linear unabhängigen Menge
(AB-, AC-) darstellen; dabei benutzt man den
Parallelogrammsatz, wonach Gegenseiten eines Parallelogramms durch
denselben Vektor in V beschrieben werden. Eine leichte Rechnung
zeigt, dass CA'- = A'C- ist.
Im Teil (ii) wird zunächst nach der Formulierung einer
analogen Aussage (p5) gefragt.
> Gegeben sei ein affiner Raum (im Sinne der Axiome). Sind g und
h zwei parallele Geraden und A, B, C, D, E Punkte, die
abwechselnd auf g und
h liegen, sowie A', B', C', D', E' Punkte, die abwechselnd
auf h und g liegen derart, dass vier "entsprechende"
Geradenpaare parallel sind, nämlich
AB || A'B',
BC || B'C',
CD || C'D',
DE || D'E',
dann ist auch das "fünfte" Paar parallel:
EA' || E'A.
Man beachte, dass die gegebenen Punkte nicht verschieden zu sein brauchen;
das Wort "fünf" wurde in diesem Zusammenhang nicht benutzt. Von dem
"fünften" Geradenpaar möchte man auch nicht verlangen, dass es
und die anderen alle verschieden seien; deshalb steht das Wort hier in
Anführungszeichen.
Wann ist (p5) gültig? Erstens kann man diese
Aussage für affine Räume im Sinne der LA I beweisen ganz
analog zu (p3).
Zweitens kann man versuchen, für affine Räume im Sinne
der Axiome die Aussage (p5) auf die Aussage (p3)
zur¨ckzuführen. Man nimmt also an, dass (p3) in dem
betrachteten affinen Raum gilt, und versucht (p5) zu beweisen.
In der Tat: zur Anwendung von (p3) braucht man nur zwei
Parallelenpaare, etwa
AB || A'B' und
BC || B'C'
oder CD || C'D' und
DE || D'E'.
[Auch das "mittlere" Paar wäre denkbar, wird aber nicht benötigt.]
Mit (p3) folgt
CA' || C'A und
EC' || E'C.
Hier liegen A, C, E auf g und A', C', E' auf h;
zwei Geradenpaare sind parallel. Nach (p3) ist auch das
"dritte" Paar parallel:
EA' || E'A,
was zu zeigen war.
Einen solchen Beweis findet man, wenn man die "Struktur" der Voraussetzung
und Behauptung durchschaut. Dabei hängt vieles auch an einer guten, d. h.
der Struktur angepassten Bezeichnungsweise. Wenn wir an das obige Bild von
Hinweg und Rückweg mit entsprechenden parallelen Seiten denken, sollten
wir vielleicht unsere Symbolik daran anpassen:
- die Punkte des Hinweges in eine Zeile schreiben und
- die Punkte des Rückweges genau darunter, so dass
- untereinander stehende Punktepaare parallele Geraden bestimmen.
Die Aussage (p3) kann dann durch
symbolisiert werden, wobei der rote Buchstabe rechts unten die Behauptung
CA' || C'A
markiert. Wenn wir jetzt noch die Punkte des Hin- und Rückweges fortlaufend
mit 0, 1, 2, ..., 8, 9 bezeichnen, so wird (p5) durch
symbolisiert. Ein möglicher Beweis ist durch
kodiert.
Weitere Fragen:
1. Gilt auch die Umkehrung, nämlich dass
(p3) aus (p5) folgt?
2. Gilt eine zu (p3) analoge Aussage auch, wenn sich die
beiden Grundgeraden schneiden? (Großer Satz von Pappos)
Weitere Beispiele fehlen noch.
Zurück zum
6.11.00;
weiter zur Übungsstunde vom
08.11.00, Teil2;
zur Stunde vom
09.11.00.
Zurück zum
Seitenanfang,
zu
Grundlagen der Geometrie,
zur Hauptseite,
zum LDfM,
zur Fachgruppe Mathematik,
zur Fakultät
für
Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften,
zur RWTH.