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Grundlagen der Geometrie
Protokoll der Übungsstunde vom 08.11.00, Teil 1 (US)

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In dieser Übungsstunde wurde Aufgabe 3 vom 1. Aufgabenblatt
sowie Fragen 1 - 3 des Aufgabenblattes der Präsenzübung vom 25.10.00 besprochen. In diesem Teil 1 geht es nur um Aufgabe 3.

Zu Aufgabe 3 (Kleiner Satz von Pappos).
Wir bezeichnen die Aussage des "Kleinen Satzes von Pappos" (über einen affinen Raum im Sinne der Axiome) mit (p3), weil auf jeder der beiden parallelen Geraden drei Punkte gegeben sind oder auch weil man (ausgehend vom ersten Punkt A) auf dem Hinweg drei Richtungen einschlägt und auf dem Rückweg drei parallele Richtungen wählt. [Dass man so wieder am Ausgangspunkt anlange, ist gerade der Inhalt der Aussage.]

Im Teil (i) der Aufgabe soll die Aussage (p3) für affine Räme im Sinne der LA I bewiesen werden. Dazu wählt man den Punkt A als Ursprung und ersetzt jeden Punkt X durch den Ortsvektor AX- in V, dem zugrundeliegenden Vektorraum einer Dimension mindestens zwei. Jeder unserer Vektoren läßt sich in der linear unabhängigen Menge (AB-, AC-) darstellen; dabei benutzt man den Parallelogrammsatz, wonach Gegenseiten eines Parallelogramms durch denselben Vektor in V beschrieben werden. Eine leichte Rechnung zeigt, dass CA'- = A'C- ist.

Im Teil (ii) wird zunächst nach der Formulierung einer analogen Aussage (p5) gefragt.
> Gegeben sei ein affiner Raum (im Sinne der Axiome). Sind g und h zwei parallele Geraden und A, B, C, D, E Punkte, die abwechselnd auf g und h liegen, sowie A', B', C', D', E' Punkte, die abwechselnd auf h und g liegen derart, dass vier "entsprechende" Geradenpaare parallel sind, nämlich

AB || A'B', BC || B'C', CD || C'D', DE || D'E',
dann ist auch das "fünfte" Paar parallel:
EA' || E'A.

Man beachte, dass die gegebenen Punkte nicht verschieden zu sein brauchen; das Wort "fünf" wurde in diesem Zusammenhang nicht benutzt. Von dem "fünften" Geradenpaar möchte man auch nicht verlangen, dass es und die anderen alle verschieden seien; deshalb steht das Wort hier in Anführungszeichen.

Wann ist (p5) gültig? Erstens kann man diese Aussage für affine Räume im Sinne der LA I beweisen ganz analog zu (p3). Zweitens kann man versuchen, für affine Räume im Sinne der Axiome die Aussage (p5) auf die Aussage (p3) zur¨ckzuführen. Man nimmt also an, dass (p3) in dem betrachteten affinen Raum gilt, und versucht (p5) zu beweisen.
In der Tat: zur Anwendung von (p3) braucht man nur zwei Parallelenpaare, etwa
AB || A'B' und BC || B'C'
oder
CD || C'D' und DE || D'E'.
[Auch das "mittlere" Paar wäre denkbar, wird aber nicht benötigt.] Mit (p3) folgt
CA' || C'A und EC' || E'C.
Hier liegen A, C, E auf g und A', C', E' auf h; zwei Geradenpaare sind parallel. Nach (p3) ist auch das "dritte" Paar parallel:
EA' || E'A,
was zu zeigen war.
Einen solchen Beweis findet man, wenn man die "Struktur" der Voraussetzung und Behauptung durchschaut. Dabei hängt vieles auch an einer guten, d. h. der Struktur angepassten Bezeichnungsweise. Wenn wir an das obige Bild von Hinweg und Rückweg mit entsprechenden parallelen Seiten denken, sollten wir vielleicht unsere Symbolik daran anpassen:
- die Punkte des Hinweges in eine Zeile schreiben und
- die Punkte des Rückweges genau darunter, so dass
- untereinander stehende Punktepaare parallele Geraden bestimmen.
Die Aussage (p3) kann dann durch
A B C A'
A' B' C' A
symbolisiert werden, wobei der rote Buchstabe rechts unten die Behauptung
CA' || C'A
markiert. Wenn wir jetzt noch die Punkte des Hin- und Rückweges fortlaufend mit 0, 1, 2, ..., 8, 9 bezeichnen, so wird (p5) durch
0 1 2 3 4 5
5 6 7 8 9 0
symbolisiert. Ein möglicher Beweis ist durch
0 1 2 5
5 6 7 0
0 7 8 5
5 2 3 0
0 3 4 5
5 8 9 0
kodiert.

Weitere Fragen:
1. Gilt auch die Umkehrung, nämlich dass (p3) aus (p5) folgt?
2. Gilt eine zu (p3) analoge Aussage auch, wenn sich die beiden Grundgeraden schneiden? (Großer Satz von Pappos)

Weitere Beispiele fehlen noch.

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