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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 08.11.00, Teil 2 (US)

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Im Teil 2 der Übungsstunde vom 08.11.00 wurden die Fragen 1 - 3 der Präsenzübung vom 25.10.00 besprochen.

Ein Homomorphismus von Inzidenzstrukturen ist ein Paar (alpha, beta) von Abbildungen zwischen den Punktmengen bzw. den Geradenmengen, das die Inzidenzrelationen respektiert. Ein Isomorphismus besteht aus Bijektionen, deren Umkehrabbildungen ebenfalls die Inzidenzrelationen respektieren.
- Es wird extra darauf hingewiesen, dass die Umkehrabbildungen eines bijektiven Homomorphismus von Inzidenzstrukturen nicht automatisch die Inzidenzrelationen respektiert (anders als bei algebraischen Strukturen). Ein einfaches Beispiel hat als erste Struktur S1 eine Gerade mit zwei Punkten und einen weiteren Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, und als zweite Struktur S2 eine Gerade mit drei Punkten. Für jeden bijektiven Homomorphismus von S1 nach S2 respektiert das Paar von Umkehrabbildungen die Inzidenzrelationen nicht. Man muss also aufpassen.

Ist das Paar von Umkehrabbildungen wenigstens dann ein Homomorphismus, wenn es sich um Inzidenzstrukturen mit besonderen Eigenschaften, etwa I1 und I2 aus dem Axiomensystem für affine Räume handelt? Das ist Frage 2. Die Anwort ist zum Glück Ja.
Zum Beweis seien alpha und beta bijektive Abbildungen zwischen Punkt- bzw. Geradenmengen von S1 nach S2, die die Inzidenzrelationen respektieren. Wir zeigen, dass jetzt auch die Umkehrabbildungen die Inzidenzrelationen respektieren. Dazu sei

Y I h in S2.
Wir wählen einen weiteren Punkt Z auf h; den gibt es nach I2. Durch die Urbildpunkte A, B von Y, Z geht nach I1 genau eine Gerade g. Sie geht unter beta auf die Gerade durch Y und Z, also auf h. Das heißt, beta-1 bildet h auf g ab. Wir haben A I g, also
Yalpha-1 I h beta-1,
wie gewünscht.

Nun zu Frage 1. Wenn man I1 und I2 für die Inzidenzstrukturen voraussetzt, lautet die Antwort Ja. Man kann jede Gerade g der Struktur S durch ihre Punktreihe

P(g) = {X | X I g}
ersetzen. Die neue Struktur S' hat dieselben Punkte wie S, jedoch die Punktreihen als Geraden und als Inzidenz das Elementsein. Die beiden Strukturen sind isomorph unter (alpha, beta) für alpha = Identität und beta = (g geht auf P(g)). Mit I1 und I2 ist nämlich beta bijektiv. Wegen der positiven Antwort auf Frage 2 ist die Unkehrabbildung zwischen beiden Strukturen ebenfalls ein Homomorphismus.
Die Zusatzfrage bei Frage 2 wird nun positiv beantwortet: bei einem Isomorphismus von Inzidenzstrukturen mit I1 und I2 ist beta schon durch alpha eindeutig bestimmt; man kann ja in beiden Strukturen die Geraden durch ihre Punktreihen ersetzen (bis auf Isomorphie), und dort ist die Abbildung zwischen den Geraden (= Punktreihen) natürlich durch die Abbildung zwischen den Punkten festgelegt.

Allerdings gibt es Homomorphismen zwischen affinen Räumen, bei denen zwar alpha, aber nicht beta bijektiv ist. D. h. aus der Bijektivität von alpha in einem Homomorphismus zwischen affinen Räumen folgt nocht nicht, dass es ein Isomorphismus ist. Dazu das folgende Beispiel.

Der erste Vektorraum sei der 4-dimensionale Standard-Zeilenraum über dem Körper K mit 2 Elementen. Die zugehörigen Punkte sind die Zeilen [a, b, c, d] mit Einträgen a, b, c, d aus K; Geraden und Inzidenz sowie Parallelität wie üblich.
Der zweite Vektorraum sei der 2-dimensionale Standard-Zeilenraum über dem Körper L mit 4 Elementen:

L = {0, 1, z, 1 + z},
wobei mit z nach der Regel z2 = 1 + z gerechnet wird; natürlich ist 1 +1 = 0. Die zugehörigen Punkte sind die Zeilen [e, f] mit e, f aus L; Geraden und Inzidenz sowie Parallelität wie üblich.
Wir erhalten eine bijektive Abbildung von den Punkten des ersten affinen Raumes auf die des zweiten, wenn wir
[a, b, c, d]alpha = [a + b z, c + d z]
setzen. Die auf den Geraden bewirkte Abbildung ist nicht bijektiv, obwohl es sich insgesamt um einen Homomorphismus von Inzidenzstrukturen (mit Parallelität) handelt.

Zu Frage 3. Ein Homomorphismus von Inzidenzstrukturen mit Parallelität ist ein Homomorphismus der Inzidenzstrukturen, der zusätzlich die Parallelität respektiert:

aus g || h folgt gbeta || hbeta.

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