Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 15.1.2001 (TR)

Bemerkung:

Die in der Vorlesung benutzten griechischen Buchstaben für Dilatationen, Translationen etc. habe ich durch entsprechende lateinische Buchstaben ersetzt (z. B. anstatt "Tau" habe ich t benutzt), da die griechischen Buchstaben in den wenigsten Browsern korrekt angezeigt werden.

Kollineationen affiner Ebenen in axiomatischer Sicht

Gegeben: Eine affine Ebene A.

Hilfssatz 1:

Satz:

Beweis:

1. Angenommen, d hat den Fixpunkt P. Mit d t₂^-1 = t₁ ist P^t₂-1 = P^t₁ =: P'. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei t₁ nicht die Identität, also P ungleich P'.

Hilfssatz 2: Gegeben sei eine Translationt ungleich id, ein Punkt P, eine Gerade r := PPt. Ist QIr, so auch Qt. Liegt Q nicht auf r, so ist ein Parallelogramm. Beweis: Zu a.: Es sei Q ungleich P, also r = PQ und rt = PtQt || r. Da t eine Dilatation ist, ist r = rt. Zu b.: Es liege Q nicht auf r. Nach dem Veblen-Young-Axiom ist PtQt || PQ [fertig] oder PtQt schneidet PQ (der Schnittpunkt sei W). Definiere s := QQt, dann ist s = st und W der Schnittpunkt von r und s. Damit wäre Wt als Schnittpunkt von rt und st gleich dem Schnittpunkt von r und s, also W. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß t nicht die Identität ist.

Sowohl die Translation t₂^-1 als auch die Translation t₁ bilden Punkte Q, die nicht auf r liegen, auf den vierten Parallelogrammpunkt in = ab. Somit gilt (nach Hilfssatz 1) t₂^-1 = t₁ und d = t₁ t₂ = id, d. h. d liegt in T(A).

2. Angenommen d hat keinen Fixpunkt. In diesem Fall ist d eine Translation und in T(A) enthalten.

Folgerung (Hilfssatz 3):

Zu P, P' existiert höchstens eine Translation t mit P^t = P'.

Beweis:

Folgt aus Hilfssatz 2.

Satz:

Gibt es Translationen in zwei Richtungen, so ist die Translationsgruppe kommutativ.

Beweis:

t₁, t₂ seien Translationen (die nicht die Identität sind) in verschiedene Richtungen: PP^t₁ ist dann ungleich PP^t₂.

t, t' seien beliebige Translationen [zu zeigen: t t' = t' t].

1. Fall:

t, t' haben verschiedene Richtungen. Q^t' = R^t ist der vierte Parallelogrammpunkt. D. h. P^{t' t} = P^{t t'}. Somit ist t t' = t' t.

2. Fall:

t, t' haben dieselbe Richtung. Es gibt eine Translation a mit anderer Richtung (Voraussetzung). Somit gilt

1. a t' = t' a,
2. a t = t a.

Aber auch t' und a t haben verschiedene Richtungen:

3. t' (a t) = (a t) t'.

Deshalb: a (t t') = (a t) t' = t' (a t) = (t' a) t = (a t') t = a (t t'), also t t' = t' t.

Satz:

Die Untergruppen T(A) und Dil(A) bilden einen Normalteiler von Koll(A).

Beweis:

1. Für Dilatationen d und Kollineationen k ist auch d^k := k^-1 d k eine Dilatation [zu zeigen: g^dk || g]. Setze h := g^k-1, h^d || h, da d Dilatation ist, g^{k-1 d} || g^k-1. k anwenden: g^{k-1 d k} || g. Somit ist d^k in Dil(A) enthalten. D. h. Dil(A) ist Normalteiler von Koll(A).
2. t Translation. Angenommen W^{t k} = W. Dann ist (W^k-1)^{t k} = W, also (W^k-1)^t = W^k-1. Dies ist ein Widerspruch, da t keinen Fixpunkt besitzt.

Satz:

1. T(A) ist transitiv.
2. (d).

Beweis:

Von 2. nach 1.:

Gegeben sei ein Punktepaar (P, Q). O. B. d. A. sei Q ungleich P (sonst ist id geeignet). [Suche Translation t mit P^t = Q.] Für alle Punkte X, welche nicht auf PQ liegen, erkläre eine Abbildung f durch X^f = vierter Parallelogrammpunkt in . Für alle Y, die nicht auf P'Q' liegen, erkläre eine Abbildung f' durch Y^f' = vierter Parallelogrammpunkt in .

(Es sei P' nicht auf PQ und Q' = P'^f.) Es folgt X^f = Y^f' für X = Y nach (d).

Von 1. nach 2.:

Klar.

Somit haben wir eine wohldefinierte Abbildung t [via f, f'] auf A. Mit f' folgt P^t = Q. [Zu zeigen wäre noch: t ist Translation.]

Analog kann man (vielleicht) zeigen:

• Es gibt zu kollinearen Punkten Z, P, Q höchstens eine Streckung s mit Zentrum Z und P^s = Q.
• Für affine Räume sind äquivalent:
  1. Zu kollinearen Punkten P, Z, Q (paarweise verschieden) gibt es eine Streckung s mit Zentrum Z und P^s = Q.
  2. (D).