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Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 15.1.2001 (TR)

Bemerkung:

Die in der Vorlesung benutzten griechischen Buchstaben für Dilatationen, Translationen etc. habe ich durch entsprechende lateinische Buchstaben ersetzt (z. B. anstatt "Tau" habe ich t benutzt), da die griechischen Buchstaben in den wenigsten Browsern korrekt angezeigt werden.

Kollineationen affiner Ebenen in axiomatischer Sicht

Gegeben: Eine affine Ebene A.

Hilfssatz 1:

Es gibt höchstens eine Dilatation, die ein Punktepaar aus zwei (!) Punkten auf ein anderes abbildet.

Satz:

Die Translationen bilden eine Untergruppe T(A).
Beweis:
t1, t2 seien Translationen: d := t1 t2 ist Element von Dil(A).

1. Angenommen, d hat den Fixpunkt P. Mit d t2-1 = t1 ist Pt2-1 = Pt1 =: P'. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei t1 nicht die Identität, also P ungleich P'.

Hilfssatz 2:

Gegeben sei eine Translationt ungleich id, ein Punkt P, eine Gerade r := PPt.

  1. Ist QIr, so auch Qt.
  2. Liegt Q nicht auf r, so ist ein Parallelogramm.
Beweis:

Zu a.: Es sei Q ungleich P, also r = PQ und rt = PtQt || r. Da t eine Dilatation ist, ist r = rt.

Zu b.: Es liege Q nicht auf r. Nach dem Veblen-Young-Axiom ist PtQt || PQ [fertig] oder PtQt schneidet PQ (der Schnittpunkt sei W). Definiere s := QQt, dann ist s = st und W der Schnittpunkt von r und s. Damit wäre Wt als Schnittpunkt von rt und st gleich dem Schnittpunkt von r und s, also W. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß t nicht die Identität ist.

Sowohl die Translation t2-1 als auch die Translation t1 bilden Punkte Q, die nicht auf r liegen, auf den vierten Parallelogrammpunkt in = ab. Somit gilt (nach Hilfssatz 1) t2-1 = t1 und d = t1 t2 = id, d. h. d liegt in T(A).

2. Angenommen d hat keinen Fixpunkt. In diesem Fall ist d eine Translation und in T(A) enthalten.

Folgerung (Hilfssatz 3):

Zu P, P' existiert höchstens eine Translation t mit Pt = P'.

Beweis:

Folgt aus Hilfssatz 2.

Satz:

Gibt es Translationen in zwei Richtungen, so ist die Translationsgruppe kommutativ.

Beweis:

t1, t2 seien Translationen (die nicht die Identität sind) in verschiedene Richtungen: PPt1 ist dann ungleich PPt2.

t, t' seien beliebige Translationen [zu zeigen: t t' = t' t].

1. Fall:
t, t' haben verschiedene Richtungen. Qt' = Rt ist der vierte Parallelogrammpunkt. D. h. Pt' t = Pt t'. Somit ist t t' = t' t.
2. Fall:
t, t' haben dieselbe Richtung. Es gibt eine Translation a mit anderer Richtung (Voraussetzung). Somit gilt
  1. a t' = t' a,
  2. a t = t a.
Aber auch t' und a t haben verschiedene Richtungen:
  1. t' (a t) = (a t) t'.
Deshalb: a (t t') = (a t) t' = t' (a t) = (t' a) t = (a t') t = a (t t'), also t t' = t' t.

Satz:

Die Untergruppen T(A) und Dil(A) bilden einen Normalteiler von Koll(A).

Beweis:
  1. Für Dilatationen d und Kollineationen k ist auch dk := k-1 d k eine Dilatation [zu zeigen: gdk || g]. Setze h := gk-1, hd || h, da d Dilatation ist, gk-1 d || gk-1. k anwenden: gk-1 d k || g. Somit ist dk in Dil(A) enthalten. D. h. Dil(A) ist Normalteiler von Koll(A).
  2. t Translation. Angenommen Wt k = W. Dann ist (Wk-1)t k = W, also (Wk-1)t = Wk-1. Dies ist ein Widerspruch, da t keinen Fixpunkt besitzt.

Satz:

Für affine Räume sind äquivalent:
  1. T(A) ist transitiv.
  2. (d).
Beweis:
Von 2. nach 1.:
Gegeben sei ein Punktepaar (P, Q). O. B. d. A. sei Q ungleich P (sonst ist id geeignet). [Suche Translation t mit Pt = Q.] Für alle Punkte X, welche nicht auf PQ liegen, erkläre eine Abbildung f durch Xf = vierter Parallelogrammpunkt in . Für alle Y, die nicht auf P'Q' liegen, erkläre eine Abbildung f' durch Yf' = vierter Parallelogrammpunkt in .

(Es sei P' nicht auf PQ und Q' = P'f.) Es folgt Xf = Yf' für X = Y nach (d).
Von 1. nach 2.:
Klar.

Somit haben wir eine wohldefinierte Abbildung t [via f, f'] auf A. Mit f' folgt Pt = Q. [Zu zeigen wäre noch: t ist Translation.]


Analog kann man (vielleicht) zeigen:

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