Definition: | Es sei eine zweistellige Relation auf G. Wir nennen Orthogonalitätsrelation auf A, falls die folgenden Axiome erfüllt:
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Definition: (Fortsetzung) |
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Erfüllt diese Definition von Orthogonalität die Axiome (O1) - (O4)?
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Bemerkung 1: | Ist eine Orthogonalitätsrelation auf A und P, P| jeweils eine Parallelenschar auf A, so setzen wir Ps = P| genau dann, wenn ein gÎP und ein hÎP| existieren mit gh. |
Fragen: |
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Zu i) | Es seien gÎP und hÎP| und es gelte: gh. Ist dann für ein h|ÎP| (also h || h|) auch gh|? (Klar nach (O3).)
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Zu ii) | Aus (O2) folgt s2 = 1 (= id), und somit ist s bijektiv. | ||
Zu iii) | Aus (O2) folgt s2 = 1 (= id), und aus (O1) folgt s ¹ 1. Damit ist die Ordnung von s gleich 2. |
Bemerkung 2: | Ist s eine Abbildung auf Parallelenscharen mit:
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Satz 1: | Ist eine Orthogonalitätsrelation, gÎG und PÎA, so gilt: Es existiert genau ein hÎG mit P I hg. |
Beweis: | Existenz und Eindeutigkeit folgen unmittelbar aus (O1) und (O3). |
Definition: | Die Gerade h aus Satz 1 wird das Lot von P auf g genannt. |
Satz 2: | Ist eine Orthogonalitätsrelation auf A und ist g eine Steckung oder Translation, so gilt gh genau dann, wenn gghg ist. |
Beweis: | Da wir Dilatationen betrachten, gilt: gg || g und hg || h; und wegen gh folgt mit (O3) gghg. |
Definition: | Es sei eine Orthogonalitätsrelation auf A. Ist (A, B, C) ein Dreieck auf A, so bezeichnen wir mit der Höhe ha die durch A I haBC (nach Satz 1) eindeutig bestimmte Gerade. Analog werden hb und hc definiert. |
Skizze 1: | Offenbar sind in diesem Beispiel ha, hb und hc kopunktal. |
Skizze 2: | Nach Bemerkung 2 ist es möglich, eine Orthogonalitätsrelation so zu definieren, daß die Höhen in unserem Dreieck (A, B, C) so liegen wie in unserer Skizze. Damit ist klar, daß nicht in jedem Gebilde (A, G, I, ||, ) gilt: Die Höhen eines Dreiecks (A, B, C) sind kopunktal. |
Einschub: | Schneiden sich die Höhen eines Dreiecks in der Ebene R2 mit einem nicht ausgearteten Skalarpodukt F? |
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(H) | Ist (A, B, C) ein Dreieck, so schneiden sich ha, hb und hc in einem Punkt. |
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15.01.01
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22.01.01.