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Grundlagen der Geometrie
U. Schoenwaelder (WS 00/01)
Protokoll vom 22.01.01 (ES)

Thema: Fragen zur Orthogonalität

Die Ausführungen zum Thema Orthogonaltität beziehen sich auf:

L. Profke: Von der affinen zur euklidischen Geometrie mit Hilfe einer Orthogonalitätsrelation
MU 22:4 (Axiomatik affiner und euklidischer Ebenen) (1976), 36-86.



Zunächst wurde der Begriff ,,orthogonal`` aus der letzten Vorlesung wiederholt:
Eine Orthogonalitätsrelation ist eine 2-stellige Relation $\perp$ auf $\mathcal{G}$ in einer affinen Ebene mit (F), (D), (S), ... , für die die Axiome (O1) -(O4) gelten. ( $\sigma\colon Ri \to Ri$, $1 \not= \sigma$, $1 = \sigma^2$)


Ein weiterer Schritt bestand im Aufstellen von Fragen zur Orthogonalität. Dieses setzt sich dann im Planen und Problemlösen fort.

Wozu ist $\perp$ gut?

Wann sind die Höhen eines Dreiecks kopunktal? (H)

Wann sind die Mittelsenkrechten eines Dreiecks kopunktal? (M)

Sind die Aussagen (H) und (M) äquivalent?

Ist der Begriff ,,Abstand`` mit $\perp$ definierbar?
$[d(A,B) \in K]$

Ist der Begriff ,,abstandsgleich`` definierbar?

Definition: $(A,X) \equiv (A,Y)$, wenn $X=Y$ oder $m(X,Y)$ durch $A$ geht. $(A,X) \equiv (B,Y)$, wenn für die Translation $\tau\colon B \mapsto A$ (existiert wegen (d)) gilt: $(A,X) \equiv (A,Y^{\tau})$.

Definiton: Gegeben sei eine nicht-isotrope Gerade $g$. Die Spiegelung an $g$ ist die folgende Abbildung $\sigma := \sigma_g\colon \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ mit
1. $X^{\sigma}=X$ für $X I g$ und
2. sonst: $X \not= X^{\sigma}$ und $g=m(X,X^{\sigma})$.

Der Begriff ,,abstandsgleich`` führt zu weiteren Fragen:
Gilt $(A,X) \equiv (A^{\alpha},X^{\alpha})$ für Translationen $\alpha$ und Spiegelungen $\alpha$?
Ist $\equiv$ transitiv? Also folgt aus $(A,X) \equiv (B,Y)$ und $(B,Y) \equiv (C,Z)$, dass $(A,X) \equiv (C,Z)$ ist?

- Wenn (M) gilt, dann ist die Umformung gültig: $(A,Y^{\tau}) \equiv (C^{\tau},Z^{\tau}) \equiv (C^{\tau\tau'},Z^{\tau\tau'})$.

Es stellt sich weiterhin die Vermutung, dass unter geeigneten Voraussetzungen an affine Ebenen die Aussagen (H), (M) und die Transitivität von $\equiv$ äquivalent sind.
(Beweis selbst.)

Wie ist die Lage der Schnittpunkte der Höhen, der Mittelsenkrechten und der Seitenhalbierenden eines Dreiecks zueinander?

Satz: Gegeben sei ein Dreieck $(A,B,C)$. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten $M$, der Höhenschnittpunkt $H$ und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden $S$ liegen auf einer Geraden (die Eulergerade).

Beweis:
Die entsprechenden Seitenpaare der Dreiecke $(A,C,H)$ und $(A',C',M)$ sind parallel. Daraus ergibt sich mit (D)$^{-1}$, dass die Punkte $H$, $M$ und $S$ kollinear sind.

Ist es möglich, den Begriff ,,Kreis`` einzuführen?

Definition: Es sei $r=(X,Y)$ und $P$ ein Punkt. Der Kreis um $P$ mit Radius $r$ ist $K(P,r) := \{ S \vert (P,S) \equiv r\}$.

Es sei $T$ ein Punkt auf dem Kreis um $P$ mit Radius $(P,S)$. Ist dann $S$ auf dem Kreis um $P$ mit Radius $(P,T)$? Wenn ja, wann?

Welche Bedeutung hat der Thales-Kreis in diesem Zusammenhang?

Gibt es zu sich schneidenden Geraden $g$ und $h$ Halbierende $w$ mit $g^{\sigma_w} = h$? (Was tun, wenn es Gegenbeispiele gibt?)

Bilden Spiegelungen Geraden auf Geraden und Kreise auf Kreise ab?

Definition: Eine Kollineation $\kappa$ heißt Isometrie, wenn $(A^{\kappa},B^{\kappa}) \equiv (A,B)$ für alle Punkte-Paare $(A,B)$ ist.

Ist die Gruppe, die von allen Translationen und Spiegelungen erzeugt wird [die sogenannte Bewegungsgruppe], gleich der Gruppe aller Isometrien oder ist sie eine echte Untergruppe?

Was ergibt die Hintereinanderausführung mehrerer Spiegelungen?
Durch die Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen ist eine Drehung definiert.
Satz: Die Hintereinanderausführung von drei Spiegelungen ist wieder eine Spiegelung, wenn die zugehörigen Spiegelgeraden kopunktal sind.

Welche gegenseitige Lage können Kreis und Gerade haben?
In der analytischen Darstellung (einer Euklidischen affinen Ebene) ist ein Kreis durch die Gleichung $x^2+y^2=r^2$ beschrieben, wobei $(x,y) \in K \times K$ ist und $K$ ein Körper ist, z.B. $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, ... (Vor. (P) gilt!).

Gegeben sei nun der Einheitskreis, also $x^2+y^2=1$, und es ist $(x,y) \in \mathbb {Q}\times \mathbb {Q}$. Dann ist ein Paar $(x,y)$ gesucht mit $y=\sqrt{1-x^2} \notin \mathbb {Q}$ und $\frac{y}{x} \in \mathbb {Q}$. Betrachte $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Dann ist $y = \sqrt{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Weiterhin ist $\frac{y}{x} = 1$ und $x^2+y^2=1$ erfüllt. Also ist für $K=\mathbb {Q}$ das Punkte-Paar $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ kein Element des Kreises.
Damit ist gezeigt, dass die Existenz von Schnittpunkten von Kreis und Gerade davon abhängig ist, welchen Koordinatenkörper die Desargues'sche affine Ebene hat.


Ein weiterer Begriff in diesem Zusammenhang ist Kongruenz, der aber in dieser Vorlesung nicht mehr behandelt werden konnte.

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