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Grundlagen der Geometrie
U. Schoenwaelder (WS 00/01)
Protokoll vom 01.02.01 (EK)

1. Nachtrag zur Übungsstunde vom 31. 01. 2001.
Der fehlende Beweis aus der Übungsstunde wird zuerst durchgeführt.
Beweis:

Per Konstruktion des Punktes $c$ erhalten wir die Parallelogramme $\left[\begin{array}{cc} a' & X \\ 0 & b \end{array} \right]$ und $\left[\begin{array}{cc} a' & X \\ a & c \end{array} \right]$ und analog per Konstruktion von $c'$ die Parallelogramme $\left[\begin{array}{cc} b' & Y \\ 0 & a \end{array} \right]$ und $\left[\begin{array}{cc} c' & Y \\ a' & a \end{array} \right]$. Also ist $Xc \ \Vert \ aa' \ \Vert \ Yc'$.
Zu zeigen ist, dass $aa'\ \Vert \ cc'$ gilt. Dafür genügt es, $aa' \ \Vert \ XY$ zu zeigen.
Ideen zur Problemlösung:

• (D) benutzen
• Überflüssiges weglassen
• Fehlendes einzeichnen
• Namen geben
• Symmetrien beachten

Hilfssatz: Es sei $A$ ein affiner Raum mit (D). Gegeben sei ein Parallelogramm $\left[\begin{array}{cc} b' & C \\ 0 & b \end{array} \right]$ und ein Punkt $P$.
Bilde nun ein neues Parallelogramm $\left[\begin{array}{cc} a' & P \\ 0 & a \end{array} \right]$ mit $a'\ I\ 0b'$ und $a\ I\ 0b$. Definiere $X$ durch $\left[\begin{array}{cc} a' & X \\ 0 & b \end{array} \right]$ und $Y$ durch $\left[\begin{array}{cc} b' & Y \\ 0 & a \end{array} \right]$. ($X$ ist somit als vierter Parallelogrammpunkt eindeutig festgelegt.)
Betrachte $\left[\begin{array}{cc} b' & C \\ 0 & b \end{array} \right]$ als festesParallelogramm. (Mit $P$ variieren auch die Punkte $a',\ X,\ a$ und $Y$.)
(Umformulierung des Problems: Bei welcher Lage von $P$ ist $aa'\ \Vert \ YX$ ?)
Dann sind äquivalent:

1. $aa'\ \Vert \ YX$
2. $P\ I\ 0C$
3. $bb'\ \Vert \ YX$.

Beweis: $2. \Rightarrow 3.$ Mit (D) gilt dann: Für das Zentrum $C$ ist $(X,\ Y,\ P) \stackrel{-}{\wedge} (b,\ b',\ 0)$, also $XY\ \Vert \ bb'$.
$3. \Rightarrow 2.$:
$(X,\ Y,\ P)$ und $(b,\ b',\ 0)$ sind axiale Dreiecke. Somit gilt $C\ I\ 0P$ und $P\ I\ 0C$.
$1. \Rightarrow 3.$:
Da $aa' \ \Vert \ bb'$ ist, folgt die Behauptung sofort.
Somit ist der Hilfssatz bewiesen und wir können mit seiner Hilfe den Beweis des Satzes beenden.
Nach Voraussetzung ist $aa' \ \Vert \ bb'$, also gilt nach dem Hilfssatz (mit Zentrum 0 und unter Ausnutzung der Symmetrie) $P\ I\ 0C$. Ebenfalls nach dem Hilfssatz ist $XY\ \Vert \ bb'$ und somit ist $aa' \ \Vert \ XY$.



2. Fortsetzung des Vorlesungsstoffes
Zunächst werden aus der letzten Vorlesung die beiden Hilfssätze noch einmal an der Tafel formuliert.
Hilfssatz 1: Gegeben sei eine affine Ebene mit (F), (D) und $\perp$. $G$ und $H$ seien die Lotfußpunkte von $P$ auf $g$ bzw. $h$. Die Geraden $g$ und $h$ seien nicht isotrop. Dann sind äquivalent:

1. $P$ liegt auf einer Halbierenden.
2. $(G,\ P) \ \equiv \ (H,\ P)$.
3. $(S,\ G) \ \equiv \ (S,\ H)$.

Hilfssatz 2: Ist $m$ eine Halbierende, so ist auch das Lot $m'$ in $S$ eine Halbierende.
Der Beweis des zweiten Hilfssatzes war schon erarbeitet worden, ebenso wie der Beweis der Inklusion $1. \Rightarrow 2.$ des Hilfssatzes 1.
Beweis von Hilfssatz 1:
$1. \Rightarrow 2.$: $\surd$
$1. \Rightarrow 3.$:

Bei einer Spiegelung bleibt Orthogonalität erhalten, wie auch die Lotfußpunkte. Daraus folgt sofort die Behauptung.
$3. \Rightarrow 1.$:
$(S,\ G) \ \equiv \ (S,\ H)$, d. h. $S \ I\ Ms(G,\ H)$. Die Frage ist nun, ob die Mittelsenkrechte von $G$ und $H$ durch den Punkt $P$ geht, welcher als Schnittpunkt der beiden Lote definiert ist.

Die Spiegelung an der Mittelsenkrechten überführt den Punkt $G$ in den Punkt $H$ und umgekehrt, d. h. die Lote werden vertauscht. Der Schnittpunkt der Lote aber bleibt derselbe, also ist $P = P'$ und $P\ I\ Ms(G,\ H)$.
$2. \Rightarrow 1.$:
Der Beweis dieser Inklusion verläuft wegen der Symmetrie analog $3. \Rightarrow 1.$ nur mit vertauschten Rollen von $S$ und $P$.
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